Cálculo Ejemplos

$y = \cos^{2} (θ)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = θ^{2}$ y $g (θ) = \cos (θ)$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (θ)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (θ)$ .

$2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Paso 1.2

La derivada de $\cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \sin (θ)$ .

$2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Paso 1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ es $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ donde $f (θ) = \cos (θ)$ y $g (θ) = \sin (θ)$ .

$- 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Paso 2.3

La derivada de $\sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\cos (θ)$ .

$- 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Paso 2.4

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Paso 2.5

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Paso 2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Paso 2.7

Suma $1$ y $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Paso 2.8

La derivada de $\cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \sin (θ)$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ)))$

Paso 2.9

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin (θ)))$

Paso 2.10

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)))$

Paso 2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1})$

Paso 2.12

Suma $1$ y $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Paso 2.13

Simplifica.

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Paso 2.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ))$

Paso 2.13.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ)$