Cálculo Ejemplos

$w = (\frac{1 + 9 z}{3 z}) (9 - 4 z)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ es $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ donde $f (z) = \frac{1 + 9 z}{3 z}$ y $g (z) = 9 - 4 z$ .

$\frac{1 + 9 z}{3 z} \frac{d}{d z} [9 - 4 z] + (9 - 4 z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{3 z}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 - 4 z$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [9] + \frac{d}{d z} [- 4 z]$ .

$\frac{1 + 9 z}{3 z} (\frac{d}{d z} [9] + \frac{d}{d z} [- 4 z]) + (9 - 4 z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{3 z}]$

Paso 1.2.2

Como $9$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $9$ con respecto a $z$ es $0$ .

$\frac{1 + 9 z}{3 z} (0 + \frac{d}{d z} [- 4 z]) + (9 - 4 z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{3 z}]$

Paso 1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d z} [- 4 z]$ .

$\frac{1 + 9 z}{3 z} \frac{d}{d z} [- 4 z] + (9 - 4 z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{3 z}]$

Paso 1.2.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- 4 z$ con respecto a $z$ es $- 4 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{1 + 9 z}{3 z} (- 4 \frac{d}{d z} [z]) + (9 - 4 z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{3 z}]$

Paso 1.2.5

Combina fracciones.

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Paso 1.2.5.1

Combina $- 4$ y $\frac{1 + 9 z}{3 z}$ .

$\frac{- 4 (1 + 9 z)}{3 z} \frac{d}{d z} [z] + (9 - 4 z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{3 z}]$

Paso 1.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} \frac{d}{d z} [z] + (9 - 4 z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{3 z}]$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} \cdot 1 + (9 - 4 z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{3 z}]$

Paso 1.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{3 z}]$

Paso 1.2.8

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $\frac{1 + 9 z}{3 z}$ con respecto a $z$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{z}]$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) (\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{z}])$

Paso 1.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ es $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ donde $f (z) = 1 + 9 z$ y $g (z) = z$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{1}{3} \frac{z \frac{d}{d z} [1 + 9 z] - (1 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 9 z$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [9 z]$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{1}{3} \frac{z (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [9 z]) - (1 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Paso 1.4.2

Como $1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $1$ con respecto a $z$ es $0$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{1}{3} \frac{z (0 + \frac{d}{d z} [9 z]) - (1 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Paso 1.4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d z} [9 z]$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{1}{3} \frac{z \frac{d}{d z} [9 z] - (1 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Paso 1.4.4

Como $9$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $9 z$ con respecto a $z$ es $9 \frac{d}{d z} [z]$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{1}{3} \frac{z (9 \frac{d}{d z} [z]) - (1 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Paso 1.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{1}{3} \frac{z (9 \cdot 1) - (1 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Paso 1.4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.6.1

Multiplica $9$ por $1$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{1}{3} \frac{z \cdot 9 - (1 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Paso 1.4.6.2

Mueve $9$ a la izquierda de $z$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{1}{3} \frac{9 \cdot z - (1 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Paso 1.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{1}{3} \frac{9 z - (1 + 9 z) \cdot 1}{z^{2}}$

Paso 1.4.8

Combina fracciones.

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Paso 1.4.8.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{1}{3} \frac{9 z - (1 + 9 z)}{z^{2}}$

Paso 1.4.8.2

Multiplica $\frac{9 z - (1 + 9 z)}{z^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{9 z - (1 + 9 z)}{z^{2} \cdot 3}$

Paso 1.4.8.3

Mueve $3$ a la izquierda de $z^{2}$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{9 z - (1 + 9 z)}{3 \cdot z^{2}}$

Paso 1.5

Para escribir $(9 - 4 z) \frac{9 z - (1 + 9 z)}{3 z^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 z}{3 z}$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{9 z - (1 + 9 z)}{3 z^{2}} \cdot \frac{3 z}{3 z}$

Paso 1.6

Combina $(9 - 4 z) \frac{9 z - (1 + 9 z)}{3 z^{2}}$ y $\frac{3 z}{3 z}$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + \frac{(9 - 4 z) \frac{9 z - (1 + 9 z)}{3 z^{2}} (3 z)}{3 z}$

Paso 1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4 (1 + 9 z) + (9 - 4 z) \frac{9 z - (1 + 9 z)}{3 z^{2}} (3 z)}{3 z}$

Paso 1.8

Combina $3$ y $\frac{9 z - (1 + 9 z)}{3 z^{2}}$ .

$\frac{- 4 (1 + 9 z) + (9 - 4 z) \frac{3 (9 z - (1 + 9 z))}{3 z^{2}} z}{3 z}$

Paso 1.9

Combina $z$ y $\frac{3 (9 z - (1 + 9 z))}{3 z^{2}}$ .

$\frac{- 4 (1 + 9 z) + (9 - 4 z) \frac{z (3 (9 z - (1 + 9 z)))}{3 z^{2}}}{3 z}$

Paso 1.10

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.10.1

Factoriza $z$ de $3 z^{2}$ .

$\frac{- 4 (1 + 9 z) + (9 - 4 z) \frac{z (3 (9 z - (1 + 9 z)))}{z (3 z)}}{3 z}$

Paso 1.10.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 (1 + 9 z) + (9 - 4 z) \frac{z (3 (9 z - (1 + 9 z)))}{z (3 z)}}{3 z}$

Paso 1.10.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 4 (1 + 9 z) + (9 - 4 z) \frac{3 (9 z - (1 + 9 z))}{3 z}}{3 z}$

Paso 1.11

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.11.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 (1 + 9 z) + (9 - 4 z) \frac{3 (9 z - (1 + 9 z))}{3 z}}{3 z}$

Paso 1.11.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 4 (1 + 9 z) + (9 - 4 z) \frac{9 z - (1 + 9 z)}{z}}{3 z}$

Paso 1.12

Simplifica.

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Paso 1.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 4 \cdot 1 - 4 (9 z) + (9 - 4 z) \frac{9 z - (1 + 9 z)}{z}}{3 z}$

Paso 1.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 4 \cdot 1 - 4 (9 z) + (9 - 4 z) \frac{9 z - 1 \cdot 1 - (9 z)}{z}}{3 z}$

Paso 1.12.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.12.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.12.3.1.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{- 4 - 4 (9 z) + (9 - 4 z) \frac{9 z - 1 \cdot 1 - (9 z)}{z}}{3 z}$

Paso 1.12.3.1.2

Multiplica $9$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 - 36 z + (9 - 4 z) \frac{9 z - 1 \cdot 1 - (9 z)}{z}}{3 z}$

Paso 1.12.3.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.12.3.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 4 - 36 z + (9 - 4 z) \frac{9 z - 1 - (9 z)}{z}}{3 z}$

Paso 1.12.3.1.3.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 - 36 z + (9 - 4 z) \frac{9 z - 1 - 9 z}{z}}{3 z}$

Paso 1.12.3.1.3.3

Resta $9 z$ de $9 z$ .

$\frac{- 4 - 36 z + (9 - 4 z) \frac{0 - 1}{z}}{3 z}$

Paso 1.12.3.1.3.4

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{- 4 - 36 z + (9 - 4 z) \frac{- 1}{z}}{3 z}$

Paso 1.12.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- 4 - 36 z + (9 - 4 z) (- \frac{1}{z})}{3 z}$

Paso 1.12.3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 4 - 36 z + 9 (- \frac{1}{z}) - 4 z (- \frac{1}{z})}{3 z}$

Paso 1.12.3.1.6

Multiplica $9 (- \frac{1}{z})$ .

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Paso 1.12.3.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{- 4 - 36 z - 9 \frac{1}{z} - 4 z (- \frac{1}{z})}{3 z}$

Paso 1.12.3.1.6.2

Combina $- 9$ y $\frac{1}{z}$ .

$\frac{- 4 - 36 z + \frac{- 9}{z} - 4 z (- \frac{1}{z})}{3 z}$

Paso 1.12.3.1.7

Cancela el factor común de $z$ .

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Paso 1.12.3.1.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{z}$ al numerador.

$\frac{- 4 - 36 z + \frac{- 9}{z} - 4 z \frac{- 1}{z}}{3 z}$

Paso 1.12.3.1.7.2

Factoriza $z$ de $- 4 z$ .

$\frac{- 4 - 36 z + \frac{- 9}{z} + z \cdot - 4 \frac{- 1}{z}}{3 z}$

Paso 1.12.3.1.7.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 - 36 z + \frac{- 9}{z} + z \cdot - 4 \frac{- 1}{z}}{3 z}$

Paso 1.12.3.1.7.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 4 - 36 z + \frac{- 9}{z} - 4 \cdot - 1}{3 z}$

Paso 1.12.3.1.8

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 - 36 z + \frac{- 9}{z} + 4}{3 z}$

Paso 1.12.3.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- 4 - 36 z - \frac{9}{z} + 4}{3 z}$

Paso 1.12.3.2

Combina los términos opuestos en $- 4 - 36 z - \frac{9}{z} + 4$ .

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Paso 1.12.3.2.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$\frac{- 36 z - \frac{9}{z} + 0}{3 z}$

Paso 1.12.3.2.2

Suma $- 36 z - \frac{9}{z}$ y $0$ .

$\frac{- 36 z - \frac{9}{z}}{3 z}$

Paso 1.12.4

Cancela el factor común de $- 36 z - \frac{9}{z}$ y $3$ .

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Paso 1.12.4.1

Factoriza $3$ de $- 36 z$ .

$\frac{3 (- 12 z) - \frac{9}{z}}{3 z}$

Paso 1.12.4.2

Factoriza $3$ de $- \frac{9}{z}$ .

$\frac{3 (- 12 z) + 3 (- \frac{3}{z})}{3 z}$

Paso 1.12.4.3

Factoriza $3$ de $3 (- 12 z) + 3 (- \frac{3}{z})$ .

$\frac{3 (- 12 z - \frac{3}{z})}{3 z}$

Paso 1.12.4.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.12.4.4.1

Factoriza $3$ de $3 z$ .

$\frac{3 (- 12 z - \frac{3}{z})}{3 (z)}$

Paso 1.12.4.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 12 z - \frac{3}{z})}{3 z}$

Paso 1.12.4.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 12 z - \frac{3}{z}}{z}$

Paso 1.12.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.12.5.1

Factoriza $3$ de $- 12 z - \frac{3}{z}$ .

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Paso 1.12.5.1.1

Factoriza $3$ de $- 12 z$ .

$\frac{3 (- 4 z) - \frac{3}{z}}{z}$

Paso 1.12.5.1.2

Factoriza $3$ de $- \frac{3}{z}$ .

$\frac{3 (- 4 z) + 3 (- \frac{1}{z})}{z}$

Paso 1.12.5.1.3

Factoriza $3$ de $3 (- 4 z) + 3 (- \frac{1}{z})$ .

$\frac{3 (- 4 z - \frac{1}{z})}{z}$

Paso 1.12.5.2

Para escribir $- 4 z$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{z}{z}$ .

$\frac{3 (- 4 z \cdot \frac{z}{z} - \frac{1}{z})}{z}$

Paso 1.12.5.3

Combina $- 4 z$ y $\frac{z}{z}$ .

$\frac{3 (\frac{- 4 z \cdot z}{z} - \frac{1}{z})}{z}$

Paso 1.12.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 \frac{- 4 z \cdot z - 1}{z}}{z}$

Paso 1.12.5.5

Multiplica $z$ por $z$ sumando los exponentes.

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Paso 1.12.5.5.1

Mueve $z$ .

$\frac{3 \frac{- 4 (z \cdot z) - 1}{z}}{z}$

Paso 1.12.5.5.2

Multiplica $z$ por $z$ .

$\frac{3 \frac{- 4 z^{2} - 1}{z}}{z}$

Paso 1.12.6

Combina $3$ y $\frac{- 4 z^{2} - 1}{z}$ .

$\frac{\frac{3 (- 4 z^{2} - 1)}{z}}{z}$

Paso 1.12.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{3 (- 4 z^{2} - 1)}{z} \cdot \frac{1}{z}$

Paso 1.12.8

Combinar.

$\frac{3 (- 4 z^{2} - 1) \cdot 1}{z \cdot z}$

Paso 1.12.9

Multiplica $z$ por $z$ .

$\frac{3 (- 4 z^{2} - 1) \cdot 1}{z^{2}}$

Paso 1.12.10

Multiplica $3 (- 4 z^{2} - 1)$ por $1$ .

$\frac{3 (- 4 z^{2} - 1)}{z^{2}}$

Paso 1.12.11

Factoriza $- 1$ de $- 4 z^{2}$ .

$\frac{3 (- (4 z^{2}) - 1)}{z^{2}}$

Paso 1.12.12

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (4 z^{2}) - 1 (1))}{z^{2}}$

Paso 1.12.13

Factoriza $- 1$ de $- (4 z^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (4 z^{2} + 1))}{z^{2}}$

Paso 1.12.14

Reescribe $- (4 z^{2} + 1)$ como $- 1 (4 z^{2} + 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (4 z^{2} + 1))}{z^{2}}$

Paso 1.12.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (z) = - \frac{3 (4 z^{2} + 1)}{z^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- \frac{3 (4 z^{2} + 1)}{z^{2}}$ con respecto a $z$ es $- 3 \frac{d}{d z} [\frac{4 z^{2} + 1}{z^{2}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d z} [\frac{4 z^{2} + 1}{z^{2}}]$

Paso 2.2

$- 3 \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [4 z^{2} + 1] - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{{(z^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica los exponentes en ${(z^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [4 z^{2} + 1] - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 3 \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [4 z^{2} + 1] - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 z^{2} + 1$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [4 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$- 3 \frac{z^{2} (\frac{d}{d z} [4 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]) - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Paso 2.3.3

Como $4$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $4 z^{2}$ con respecto a $z$ es $4 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$- 3 \frac{z^{2} (4 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]) - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 3 \frac{z^{2} (4 (2 z) + \frac{d}{d z} [1]) - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$- 3 \frac{z^{2} (8 z + \frac{d}{d z} [1]) - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Paso 2.3.6

Como $1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $1$ con respecto a $z$ es $0$ .

$- 3 \frac{z^{2} (8 z + 0) - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Paso 2.3.7

Suma $8 z$ y $0$ .

$- 3 \frac{z^{2} (8 z) - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Paso 2.4

Multiplica $z^{2}$ por $z$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1

Mueve $z$ .

$- 3 \frac{z \cdot z^{2} \cdot 8 - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Paso 2.4.2

Multiplica $z$ por $z^{2}$ .

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Paso 2.4.2.1

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$- 3 \frac{z^{1} z^{2} \cdot 8 - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Paso 2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 3 \frac{z^{1 + 2} \cdot 8 - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Paso 2.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$- 3 \frac{z^{3} \cdot 8 - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Paso 2.5

Mueve $8$ a la izquierda de $z^{3}$ .

$- 3 \frac{8 \cdot z^{3} - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 3 \frac{8 z^{3} - (4 z^{2} + 1) (2 z)}{z^{4}}$

Paso 2.7

Combina fracciones.

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Paso 2.7.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 3 \frac{8 z^{3} - 2 (4 z^{2} + 1) z}{z^{4}}$

Paso 2.7.2

Combina $- 3$ y $\frac{8 z^{3} - 2 (4 z^{2} + 1) z}{z^{4}}$ .

$\frac{- 3 (8 z^{3} - 2 (4 z^{2} + 1) z)}{z^{4}}$

Paso 2.7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 (8 z^{3} - 2 (4 z^{2} + 1) z)}{z^{4}}$

Paso 2.8

Simplifica.

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Paso 2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 (8 z^{3} + (- 2 (4 z^{2}) - 2 \cdot 1) z)}{z^{4}}$

Paso 2.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 (8 z^{3} - 2 (4 z^{2}) z - 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Paso 2.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 (8 z^{3}) + 3 (- 2 (4 z^{2}) z) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Paso 2.8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.4.1.1

Multiplica $8$ por $3$ .

$- \frac{24 z^{3} + 3 (- 2 (4 z^{2}) z) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Paso 2.8.4.1.2

Multiplica $z^{2}$ por $z$ sumando los exponentes.

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Paso 2.8.4.1.2.1

Mueve $z$ .

$- \frac{24 z^{3} + 3 (- 2 (4 (z \cdot z^{2}))) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Paso 2.8.4.1.2.2

Multiplica $z$ por $z^{2}$ .

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Paso 2.8.4.1.2.2.1

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{24 z^{3} + 3 (- 2 (4 (z^{1} z^{2}))) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Paso 2.8.4.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{24 z^{3} + 3 (- 2 (4 z^{1 + 2})) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Paso 2.8.4.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{24 z^{3} + 3 (- 2 (4 z^{3})) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Paso 2.8.4.1.3

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$- \frac{24 z^{3} + 3 (- 8 z^{3}) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Paso 2.8.4.1.4

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$- \frac{24 z^{3} - 24 z^{3} + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Paso 2.8.4.1.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- \frac{24 z^{3} - 24 z^{3} + 3 (- 2 z)}{z^{4}}$

Paso 2.8.4.1.6

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$- \frac{24 z^{3} - 24 z^{3} - 6 z}{z^{4}}$

Paso 2.8.4.2

Resta $24 z^{3}$ de $24 z^{3}$ .

$- \frac{0 - 6 z}{z^{4}}$

Paso 2.8.4.3

Resta $6 z$ de $0$ .

$- \frac{- 6 z}{z^{4}}$

Paso 2.8.5

Combina los términos.

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Paso 2.8.5.1

Cancela el factor común de $z$ y $z^{4}$ .

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Paso 2.8.5.1.1

Factoriza $z$ de $- 6 z$ .

$- \frac{z \cdot - 6}{z^{4}}$

Paso 2.8.5.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.8.5.1.2.1

Factoriza $z$ de $z^{4}$ .

$- \frac{z \cdot - 6}{z \cdot z^{3}}$

Paso 2.8.5.1.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{z \cdot - 6}{z \cdot z^{3}}$

Paso 2.8.5.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{- 6}{z^{3}}$

Paso 2.8.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{6}{z^{3}}$

Paso 2.8.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{6}{z^{3}}$

Paso 2.8.5.4

Multiplica $\frac{6}{z^{3}}$ por $1$ .

$f'' (z) = \frac{6}{z^{3}}$