Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{36} \cot (6 x + 5)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $\frac{1}{36}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{36} \cdot \cot (6 x + 5)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{36} \frac{d}{d x} [\cot (6 x + 5)]$ .

$\frac{1}{36} \frac{d}{d x} [\cot (6 x + 5)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cot (x)$ y $g (x) = 6 x + 5$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x + 5$ .

$\frac{1}{36} (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Paso 1.2.2

La derivada de $\cot (u)$ con respecto a $u$ es $- \csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{36} (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x + 5$ .

$\frac{1}{36} (- \csc^{2} (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Combina $\frac{1}{36}$ y $\csc^{2} (6 x + 5)$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 1.3.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 1.3.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} (6 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 1.3.6

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} (6 + 0)$

Paso 1.3.7

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.7.1

Suma $6$ y $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} \cdot 6$

Paso 1.3.7.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 6 \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36}$

Paso 1.3.7.3

Combina $- 6$ y $\frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36}$ .

$\frac{- 6 \csc^{2} (6 x + 5)}{36}$

Paso 1.3.7.4

Cancela el factor común de $- 6$ y $36$ .

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Paso 1.3.7.4.1

Factoriza $6$ de $- 6 \csc^{2} (6 x + 5)$ .

$\frac{6 (- \csc^{2} (6 x + 5))}{36}$

Paso 1.3.7.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.7.4.2.1

Factoriza $6$ de $36$ .

$\frac{6 (- \csc^{2} (6 x + 5))}{6 (6)}$

Paso 1.3.7.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 (- \csc^{2} (6 x + 5))}{6 \cdot 6}$

Paso 1.3.7.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \csc^{2} (6 x + 5)}{6}$

Paso 1.3.7.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{6}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $- \frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{6}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (6 x + 5)]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (6 x + 5)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \csc (6 x + 5)$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\csc (6 x + 5)$ .

$- \frac{1}{6} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{1}{6} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\csc (6 x + 5)$ .

$- \frac{1}{6} (2 \csc (6 x + 5) \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)])$

Paso 2.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{6}) (\csc (6 x + 5) \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)])$

Paso 2.3.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 2}{6} (\csc (6 x + 5) \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)])$

Paso 2.3.3

Combina $\csc (6 x + 5)$ y $\frac{- 2}{6}$ .

$\frac{\csc (6 x + 5) \cdot - 2}{6} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

Paso 2.3.4

Mueve $- 2$ a la izquierda de $\csc (6 x + 5)$ .

$\frac{- 2 \cdot \csc (6 x + 5)}{6} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

Paso 2.3.5

Cancela el factor común de $- 2$ y $6$ .

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Paso 2.3.5.1

Factoriza $2$ de $- 2 \csc (6 x + 5)$ .

$\frac{2 (- \csc (6 x + 5))}{6} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

Paso 2.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (- \csc (6 x + 5))}{2 (3)} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- \csc (6 x + 5))}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

Paso 2.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \csc (6 x + 5)}{3} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

Paso 2.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\csc (6 x + 5)}{3} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \csc (x)$ y $g (x) = 6 x + 5$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $6 x + 5$ .

$- \frac{\csc (6 x + 5)}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Paso 2.4.2

La derivada de $\csc (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- \frac{\csc (6 x + 5)}{3} (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $6 x + 5$ .

$- \frac{\csc (6 x + 5)}{3} (- \csc (6 x + 5) \cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Paso 2.5

Combina fracciones.

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Paso 2.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{\csc (6 x + 5)}{3} (\csc (6 x + 5) \cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Paso 2.5.2

Multiplica $\frac{\csc (6 x + 5)}{3}$ por $1$ .

$\frac{\csc (6 x + 5)}{3} (\csc (6 x + 5) \cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Paso 2.5.3

Combina $\csc (6 x + 5)$ y $\frac{\csc (6 x + 5)}{3}$ .

$\frac{\csc (6 x + 5) \csc (6 x + 5)}{3} (\cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Paso 2.6

Eleva $\csc (6 x + 5)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\csc^{1} (6 x + 5) \csc (6 x + 5)}{3} (\cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Paso 2.7

Eleva $\csc (6 x + 5)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\csc^{1} (6 x + 5) \csc^{1} (6 x + 5)}{3} (\cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Paso 2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\csc (6 x + 5)}^{1 + 1}}{3} (\cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Paso 2.9

Combina fracciones.

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Paso 2.9.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{3} (\cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Paso 2.9.2

Combina $\cot (6 x + 5)$ y $\frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{3}$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Paso 2.10

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.11

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.13

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} (6 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.14

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} (6 + 0)$

Paso 2.15

Simplifica los términos.

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Paso 2.15.1

Suma $6$ y $0$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} \cdot 6$

Paso 2.15.2

Combina $\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3}$ y $6$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5) \cdot 6}{3}$

Paso 2.15.3

Mueve $6$ a la izquierda de $\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)$ .

$\frac{6 \cdot (\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5))}{3}$

Paso 2.15.4

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 2.15.4.1

Factoriza $3$ de $6 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)$ .

$\frac{3 (2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5))}{3}$

Paso 2.15.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.15.4.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5))}{3 (1)}$

Paso 2.15.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5))}{3 \cdot 1}$

Paso 2.15.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{1}$

Paso 2.15.4.2.4

Divide $2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)$ por $1$ .

$2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)$

Paso 2.15.5

Reordena los factores de $2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)$ .

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (6 x + 5) \cot (6 x + 5)$