Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{1 - 2 x t + t^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - 2 x t + t^{2}}$ como ${(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 - 2 x t + t^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - 2 x t + t^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 2 x t + t^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Paso 1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Paso 1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Paso 1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Paso 1.7.3

Mueve ${(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Paso 1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 x t + t^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Paso 1.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Paso 1.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x t]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Paso 1.11

Como $- 2 t$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x t$ con respecto a $x$ es $- 2 t \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Paso 1.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t \cdot 1 + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Paso 1.13

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Paso 1.14

Como $t^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $t^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t + 0)$

Paso 1.15

Simplifica los términos.

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Paso 1.15.1

Suma $- 2 t$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t)$

Paso 1.15.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} t$

Paso 1.15.3

Combina $\frac{- 2}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $t$ .

$\frac{- 2 t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.15.4

Factoriza $2$ de $- 2 t$ .

$\frac{2 (- t)}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.16.1

Factoriza $2$ de $2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- t)}{2 ({(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 1.16.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- t)}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- t}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{t}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $- t$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{t}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- t \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- t \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- t \frac{d}{d x} [{({(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- t \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Paso 2.1.2.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$- t \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

Paso 2.1.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- t \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 - 2 x t + t^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - 2 x t + t^{2}$ .

$- t (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$- t (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 2 x t + t^{2}$ .

$- t (- \frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- t (- \frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- t (- \frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- t (- \frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- t (- \frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$- t (- \frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Paso 2.7

Combina fracciones.

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Paso 2.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- t (- \frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Paso 2.7.2

Combina ${(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- t (- \frac{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Paso 2.7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.7.3.1

Mueve ${(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- t (- \frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Paso 2.7.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 t (\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Paso 2.7.3.3

Multiplica $t$ por $1$ .

$t (\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

Paso 2.7.4

Combina $\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ y $t$ .

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 x t + t^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Paso 2.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Paso 2.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x t]$ .

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Paso 2.11

Como $- 2 t$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x t$ con respecto a $x$ es $- 2 t \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- 2 t \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Paso 2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- 2 t \cdot 1 + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Paso 2.13

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- 2 t + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

Paso 2.14

Como $t^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $t^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- 2 t + 0)$

Paso 2.15

Combina fracciones.

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Paso 2.15.1

Suma $- 2 t$ y $0$ .

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- 2 t)$

Paso 2.15.2

Combina $- 2$ y $\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2 t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} t$

Paso 2.15.3

Combina $\frac{- 2 t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ y $t$ .

$\frac{- 2 t \cdot t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.16

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (t^{1} t)}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.17

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (t^{1} t^{1})}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 t^{1 + 1}}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.19

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 2 t^{2}}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.20

Factoriza $2$ de $- 2 t^{2}$ .

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.21

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.21.1

Factoriza $2$ de $2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- t^{2})}{2 ({(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 2.21.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.21.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- t^{2}}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.22

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{t^{2}}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$