Cálculo Ejemplos

$y = \sin (x) + \tan (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) + \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 1.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \sec^{2} (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (x) + \sec^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (x)$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sec (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$- \sin (x) + 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 2.3.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$- \sin (x) + 2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

Paso 2.3.3

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \sin (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

Paso 2.3.4

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \sin (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

Paso 2.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \sin (x) + 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

Paso 2.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$- \sin (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reordena los términos.

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$

Paso 2.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) - \sin (x)$

Paso 2.4.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Paso 2.4.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Paso 2.4.2.4

Combina $2$ y $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Paso 2.4.2.5

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x)$

Paso 2.4.2.6

Combinar.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} - \sin (x)$

Paso 2.4.2.7

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.2.7.1

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ .

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Paso 2.4.2.7.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} - \sin (x)$

Paso 2.4.2.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} - \sin (x)$

Paso 2.4.2.7.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} - \sin (x)$

Paso 2.4.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.3.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} - \sin (x)$

Paso 2.4.3.2

Separa las fracciones.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x)$

Paso 2.4.3.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Paso 2.4.3.4

Multiplica por $1$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan (x) - \sin (x)$

Paso 2.4.3.5

Separa las fracciones.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Paso 2.4.3.6

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$

Paso 2.4.3.7

Divide $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$