Cálculo Ejemplos

$w = 3 z^{- z} - \frac{1}{z}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 z^{- z} - \frac{1}{z}$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [3 z^{- z}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ .

$\frac{d}{d z} [3 z^{- z}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d z} [3 z^{- z}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $3 z^{- z}$ con respecto a $z$ es $3 \frac{d}{d z} [z^{- z}]$ .

$3 \frac{d}{d z} [z^{- z}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 1.2.2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 1.2.2.1

Reescribe $z^{- z}$ como $e^{\ln (z^{- z})}$ .

$3 \frac{d}{d z} [e^{\ln (z^{- z})}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 1.2.2.2

Expande $\ln (z^{- z})$ ; para ello, mueve $- z$ fuera del logaritmo.

$3 \frac{d}{d z} [e^{- z \ln (z)}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ es $f' (g (z)) g' (z)$ donde $f (z) = e^{z}$ y $g (z) = - z \ln (z)$ .

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Paso 1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- z \ln (z)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d z} [- z \ln (z)]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d z} [- z \ln (z)]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- z \ln (z)$ .

$3 (e^{- z \ln (z)} \frac{d}{d z} [- z \ln (z)]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 1.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- z \ln (z)$ con respecto a $z$ es $- \frac{d}{d z} [z \ln (z)]$ .

$3 (e^{- z \ln (z)} (- \frac{d}{d z} [z \ln (z)])) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ es $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ donde $f (z) = z$ y $g (z) = \ln (z)$ .

$3 (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \ln (z) \frac{d}{d z} [z]))) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 1.2.6

La derivada de $\ln (z)$ con respecto a $z$ es $\frac{1}{z}$ .

$3 (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{1}{z} + \ln (z) \frac{d}{d z} [z]))) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 1.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{1}{z} + \ln (z) \cdot 1))) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 1.2.8

Combina $z$ y $\frac{1}{z}$ .

$3 (e^{- z \ln (z)} (- (\frac{z}{z} + \ln (z) \cdot 1))) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 1.2.9

Cancela el factor común de $z$ .

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Paso 1.2.9.1

Cancela el factor común.

$3 (e^{- z \ln (z)} (- (\frac{z}{z} + \ln (z) \cdot 1))) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 1.2.9.2

Reescribe la expresión.

$3 (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z) \cdot 1))) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 1.2.10

Multiplica $\ln (z)$ por $1$ .

$3 (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 1.2.11

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ .

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ es $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ donde $f (z) = - 1$ y $g (z) = \frac{1}{z}$ .

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) - \frac{d}{d z} [\frac{1}{z}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Paso 1.3.2

Reescribe $\frac{1}{z}$ como $z^{- 1}$ .

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) - \frac{d}{d z} [z^{- 1}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $z$ es $0$ .

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Paso 1.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) + 1 z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Paso 1.3.6

Multiplica $z^{- 2}$ por $1$ .

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) + z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Paso 1.3.7

Multiplica $\frac{1}{z}$ por $0$ .

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) + z^{- 2} + 0$

Paso 1.3.8

Suma $z^{- 2}$ y $0$ .

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) + z^{- 2}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 - 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z) + z^{- 2}$

Paso 1.4.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3 e^{- z \ln (z)} - 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z) + z^{- 2}$

Paso 1.4.3

Reordena los términos.

$f' (z) = - 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z) + z^{- 2} - 3 e^{- z \ln (z)}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z) + z^{- 2} - 3 e^{- z \ln (z)}$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)] + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$ .

$\frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)] + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$ con respecto a $z$ es $- 3 \frac{d}{d z} [e^{- z \ln (z)} \ln (z)]$ .

$- 3 \frac{d}{d z} [e^{- z \ln (z)} \ln (z)] + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ es $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ donde $f (z) = e^{- z \ln (z)}$ y $g (z) = \ln (z)$ .

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \ln (z) \frac{d}{d z} [e^{- z \ln (z)}]) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.2.3

La derivada de $\ln (z)$ con respecto a $z$ es $\frac{1}{z}$ .

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) \frac{d}{d z} [e^{- z \ln (z)}]) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ es $f' (g (z)) g' (z)$ donde $f (z) = e^{z}$ y $g (z) = - z \ln (z)$ .

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Paso 2.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- z \ln (z)$ .

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d z} [- z \ln (z)])) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.2.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) (e^{u_{1}} \frac{d}{d z} [- z \ln (z)])) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- z \ln (z)$ .

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} \frac{d}{d z} [- z \ln (z)])) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- z \ln (z)$ con respecto a $z$ es $- \frac{d}{d z} [z \ln (z)]$ .

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \frac{d}{d z} [z \ln (z)]))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ es $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ donde $f (z) = z$ y $g (z) = \ln (z)$ .

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \ln (z) \frac{d}{d z} [z])))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.2.7

La derivada de $\ln (z)$ con respecto a $z$ es $\frac{1}{z}$ .

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{1}{z} + \ln (z) \frac{d}{d z} [z])))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{1}{z} + \ln (z) \cdot 1)))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.2.9

Combina $e^{- z \ln (z)}$ y $\frac{1}{z}$ .

$- 3 (\frac{e^{- z \ln (z)}}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{1}{z} + \ln (z) \cdot 1)))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.2.10

Combina $z$ y $\frac{1}{z}$ .

$- 3 (\frac{e^{- z \ln (z)}}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (\frac{z}{z} + \ln (z) \cdot 1)))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.2.11

Cancela el factor común de $z$ .

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Paso 2.2.11.1

Cancela el factor común.

$- 3 (\frac{e^{- z \ln (z)}}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (\frac{z}{z} + \ln (z) \cdot 1)))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.2.11.2

Reescribe la expresión.

$- 3 (\frac{e^{- z \ln (z)}}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z) \cdot 1)))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.2.12

Multiplica $\ln (z)$ por $1$ .

$- 3 (\frac{e^{- z \ln (z)}}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z))))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.2.13

Para escribir $\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z))))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{z}{z}$ .

$- 3 (\frac{e^{- z \ln (z)}}{z} + \frac{\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z}{z}) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.2.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 3 \frac{e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z}{z} + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.2.15

Combina $- 3$ y $\frac{e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z}{z}$ .

$\frac{- 3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.2.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- 3 e^{- z \ln (z)}$ con respecto a $z$ es $- 3 \frac{d}{d z} [e^{- z \ln (z)}]$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 \frac{d}{d z} [e^{- z \ln (z)}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ es $f' (g (z)) g' (z)$ donde $f (z) = e^{z}$ y $g (z) = - z \ln (z)$ .

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Paso 2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- z \ln (z)$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d z} [- z \ln (z)])$

Paso 2.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{u_{2}} \frac{d}{d z} [- z \ln (z)])$

Paso 2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- z \ln (z)$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{d}{d z} [- z \ln (z)])$

Paso 2.4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- z \ln (z)$ con respecto a $z$ es $- \frac{d}{d z} [z \ln (z)]$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- \frac{d}{d z} [z \ln (z)]))$

Paso 2.4.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ es $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ donde $f (z) = z$ y $g (z) = \ln (z)$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \ln (z) \frac{d}{d z} [z])))$

Paso 2.4.5

La derivada de $\ln (z)$ con respecto a $z$ es $\frac{1}{z}$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{1}{z} + \ln (z) \frac{d}{d z} [z])))$

Paso 2.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{1}{z} + \ln (z) \cdot 1)))$

Paso 2.4.7

Combina $z$ y $\frac{1}{z}$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- (\frac{z}{z} + \ln (z) \cdot 1)))$

Paso 2.4.8

Cancela el factor común de $z$ .

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Paso 2.4.8.1

Cancela el factor común.

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- (\frac{z}{z} + \ln (z) \cdot 1)))$

Paso 2.4.8.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z) \cdot 1)))$

Paso 2.4.9

Multiplica $\ln (z)$ por $1$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z))))$

Paso 2.4.10

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z))$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- 1 \cdot 1 - \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z))$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- 1 \cdot 1) + e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z))$

Paso 2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- 1 \cdot 1)) + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z))$

Paso 2.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- 1 \cdot 1)) z + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z))$

Paso 2.5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- 1 \cdot 1)) z) + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z))$

Paso 2.5.6

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- 1 \cdot 1)) z) + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Paso 2.5.7

Combina los términos.

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Paso 2.5.7.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} \cdot - 1) z) + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Paso 2.5.7.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- z \ln (z)}$ .

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} + 3 (\ln (z) (- 1 \cdot e^{- z \ln (z)}) z) + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Paso 2.5.7.3

Reescribe $- 1 e^{- z \ln (z)}$ como $- e^{- z \ln (z)}$ .

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} + 3 (\ln (z) (- e^{- z \ln (z)}) z) + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Paso 2.5.7.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)}) z) + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Paso 2.5.7.5

Eleva $\ln (z)$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z + 3 (e^{- z \ln (z)} (- (\ln^{1} (z) \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Paso 2.5.7.6

Eleva $\ln (z)$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z + 3 (e^{- z \ln (z)} (- (\ln^{1} (z) \ln^{1} (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Paso 2.5.7.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z + 3 (e^{- z \ln (z)} (- {\ln (z)}^{1 + 1}) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Paso 2.5.7.8

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z + 3 (e^{- z \ln (z)} (- \ln^{2} (z)) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Paso 2.5.7.9

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 (e^{- z \ln (z)} (\ln^{2} (z)) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Paso 2.5.7.10

Para escribir $- 2 z^{- 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{z}{z}$ .

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z}{z} - 2 z^{- 3} \cdot \frac{z}{z} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Paso 2.5.7.11

Combina $- 2 z^{- 3}$ y $\frac{z}{z}$ .

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z}{z} + \frac{- 2 z^{- 3} z}{z} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Paso 2.5.7.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- (3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z) - 2 z^{- 3} z}{z} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Paso 2.5.7.13

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- (3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z) - 2 (z^{1} z^{- 3})}{z} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Paso 2.5.7.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- (3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z) - 2 z^{1 - 3}}{z} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Paso 2.5.7.15

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{- (3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z) - 2 z^{- 2}}{z} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Paso 2.5.7.16

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{- (3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z) - 2 z^{- 2}}{z} + 3 e^{- z \ln (z)} + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Paso 2.5.8

Reordena los términos.

$f'' (z) = 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z) + \frac{- (3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z) - 2 z^{- 2}}{z} + 3 e^{- z \ln (z)}$