Cálculo Ejemplos

$y = x^{\frac{4}{7}} + 3 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{4}{7}} + 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$ .

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{7}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} - 1} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{7}{7}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{7} x^{\frac{4 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{4 - 7}{7}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.2.5.2

Resta $7$ de $4$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{- 3}{7}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{7} x^{- \frac{3}{7}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{7} x^{- \frac{3}{7}} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4}{7} x^{- \frac{3}{7}} + 3 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{4}{7} x^{- \frac{3}{7}} + 3$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{7}}} + 3$

Paso 1.4.2

Multiplica $\frac{4}{7}$ por $\frac{1}{x^{\frac{3}{7}}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}} + 3$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{4}{7}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{7}}}]$ .

$\frac{4}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{7}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{3}{7}}}$ como ${(x^{\frac{3}{7}})}^{- 1}$ .

$\frac{4}{7} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{7}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{3}{7}}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{3}{7}}$ .

$\frac{4}{7} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{7}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{4}{7} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{7}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{3}{7}}$ .

$\frac{4}{7} (- {(x^{\frac{3}{7}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{7}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{7}$ .

$\frac{4}{7} (- {(x^{\frac{3}{7}})}^{- 2} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{7}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{7} (- x^{\frac{3}{7} \cdot - 2} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.5.2

Multiplica $\frac{3}{7} \cdot - 2$ .

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Paso 2.2.5.2.1

Combina $\frac{3}{7}$ y $- 2$ .

$\frac{4}{7} (- x^{\frac{3 \cdot - 2}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.5.2.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{4}{7} (- x^{\frac{- 6}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{7} (- x^{- \frac{6}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{4}{7} (- x^{- \frac{6}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{7}{7}$ .

$\frac{4}{7} (- x^{- \frac{6}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{7} (- x^{- \frac{6}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3 - 1 \cdot 7}{7}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{4}{7} (- x^{- \frac{6}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3 - 7}{7}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.9.2

Resta $7$ de $3$ .

$\frac{4}{7} (- x^{- \frac{6}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{- 4}{7}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{7} (- x^{- \frac{6}{7}} (\frac{3}{7} x^{- \frac{4}{7}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.11

Combina $\frac{3}{7}$ y $x^{- \frac{4}{7}}$ .

$\frac{4}{7} (- x^{- \frac{6}{7}} \frac{3 x^{- \frac{4}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.12

Combina $\frac{3 x^{- \frac{4}{7}}}{7}$ y $x^{- \frac{6}{7}}$ .

$\frac{4}{7} (- \frac{3 x^{- \frac{4}{7}} x^{- \frac{6}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.13

Multiplica $x^{- \frac{4}{7}}$ por $x^{- \frac{6}{7}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.13.1

Mueve $x^{- \frac{6}{7}}$ .

$\frac{4}{7} (- \frac{3 (x^{- \frac{6}{7}} x^{- \frac{4}{7}})}{7}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.13.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4}{7} (- \frac{3 x^{- \frac{6}{7} - \frac{4}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.13.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{7} (- \frac{3 x^{\frac{- 6 - 4}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.13.4

Resta $4$ de $- 6$ .

$\frac{4}{7} (- \frac{3 x^{\frac{- 10}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.13.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{7} (- \frac{3 x^{- \frac{10}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.14

Mueve $x^{- \frac{10}{7}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{7} (- \frac{3}{7 x^{\frac{10}{7}}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.15

Multiplica $\frac{4}{7}$ por $\frac{3}{7 x^{\frac{10}{7}}}$ .

$- \frac{4 \cdot 3}{7 (7 x^{\frac{10}{7}})} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.16

Multiplica $4$ por $3$ .

$- \frac{12}{7 (7 x^{\frac{10}{7}})} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.17

Multiplica $7$ por $7$ .

$- \frac{12}{49 x^{\frac{10}{7}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{12}{49 x^{\frac{10}{7}}} + 0$

Paso 2.3.2

Suma $- \frac{12}{49 x^{\frac{10}{7}}}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{12}{49 x^{\frac{10}{7}}}$