Cálculo Ejemplos

$y = \tan (x - \frac{π}{6})$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = x - \frac{π}{6}$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - \frac{π}{6}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - \frac{π}{6}$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \frac{π}{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}])$

Paso 1.2.3

Como $- \frac{π}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{π}{6}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (1 + 0)$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \cdot 1$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $\sec^{2} (x - \frac{π}{6})$ por $1$ .

$f' (x) = \sec^{2} (x - \frac{π}{6})$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (x - \frac{π}{6})$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (x - \frac{π}{6})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (x - \frac{π}{6})$ .

$2 \sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = x - \frac{π}{6}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x - \frac{π}{6}$ .

$2 \sec (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - \frac{π}{6}$ .

$2 \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Paso 2.3

Eleva $\sec (x - \frac{π}{6})$ a la potencia de $1$ .

$2 (\sec^{1} (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6})) (\tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Paso 2.4

Eleva $\sec (x - \frac{π}{6})$ a la potencia de $1$ .

$2 (\sec^{1} (x - \frac{π}{6}) \sec^{1} (x - \frac{π}{6})) (\tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Paso 2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 {\sec (x - \frac{π}{6})}^{1 + 1} (\tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Paso 2.6

Suma $1$ y $1$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \frac{π}{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}])$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}])$

Paso 2.9

Como $- \frac{π}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{π}{6}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) (1 + 0)$

Paso 2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 2.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) \cdot 1$

Paso 2.10.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6})$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6})$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6})]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sec^{2} (x - \frac{π}{6})$ y $g (x) = \tan (x - \frac{π}{6})$ .

$2 (\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{6})] + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = x - \frac{π}{6}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x - \frac{π}{6}$ .

$2 (\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]) + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Paso 3.3.2

La derivada de $\tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec^{2} (u_{1})$ .

$2 (\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]) + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - \frac{π}{6}$ .

$2 (\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]) + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Paso 3.4

Multiplica $\sec^{2} (x - \frac{π}{6})$ por $\sec^{2} (x - \frac{π}{6})$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1

Mueve $\sec^{2} (x - \frac{π}{6})$ .

$2 (\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}] + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Paso 3.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 ({\sec (x - \frac{π}{6})}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}] + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Paso 3.4.3

Suma $2$ y $2$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}] + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \frac{π}{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]) + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]) + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Paso 3.5.3

Como $- \frac{π}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{π}{6}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) (1 + 0) + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Paso 3.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) \cdot 1 + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Paso 3.5.4.2

Multiplica $\sec^{4} (x - \frac{π}{6})$ por $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (x - \frac{π}{6})$ .

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Paso 3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sec (x - \frac{π}{6})$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + \tan (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]))$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + \tan (x - \frac{π}{6}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]))$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sec (x - \frac{π}{6})$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + \tan (x - \frac{π}{6}) (2 \sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]))$

Paso 3.7

Mueve $2$ a la izquierda de $\tan (x - \frac{π}{6})$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \cdot \tan (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})])$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = x - \frac{π}{6}$ .

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Paso 3.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $x - \frac{π}{6}$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]))$

Paso 3.8.2

La derivada de $\sec (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]))$

Paso 3.8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $x - \frac{π}{6}$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]))$

Paso 3.9

Eleva $\tan (x - \frac{π}{6})$ a la potencia de $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 (\tan^{1} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6})) \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]))$

Paso 3.10

Eleva $\tan (x - \frac{π}{6})$ a la potencia de $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 (\tan^{1} (x - \frac{π}{6}) \tan^{1} (x - \frac{π}{6})) \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]))$

Paso 3.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 {\tan (x - \frac{π}{6})}^{1 + 1} \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]))$

Paso 3.12

Suma $1$ y $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]))$

Paso 3.13

Eleva $\sec (x - \frac{π}{6})$ a la potencia de $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) (\sec^{1} (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6})) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Paso 3.14

Eleva $\sec (x - \frac{π}{6})$ a la potencia de $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) (\sec^{1} (x - \frac{π}{6}) \sec^{1} (x - \frac{π}{6})) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Paso 3.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) {\sec (x - \frac{π}{6})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Paso 3.16

Suma $1$ y $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Paso 3.17

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \frac{π}{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]))$

Paso 3.18

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]))$

Paso 3.19

Como $- \frac{π}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{π}{6}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (1 + 0))$

Paso 3.20

Simplifica la expresión.

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Paso 3.20.1

Suma $1$ y $0$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \cdot 1)$

Paso 3.20.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}))$

Paso 3.21

Simplifica.

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Paso 3.21.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 (2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}))$

Paso 3.21.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 4 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6})$

Paso 3.21.3

Reordena los términos.

$f''' (x) = 4 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) + 2 \sec^{4} (x - \frac{π}{6})$