Cálculo Ejemplos

$y = 9 x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x^{4}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{4}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$9 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Paso 1.2.3

Multiplica $4$ por $9$ .

$36 x^{3} + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [a x^{3}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a x^{3}$ con respecto a $x$ es $a \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$36 x^{3} + a \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$36 x^{3} + a (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Paso 1.3.3

Mueve $3$ a la izquierda de $a$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [b x^{2}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $b x^{2}$ con respecto a $x$ es $b \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + b \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + b (2 x) + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Paso 1.4.3

Mueve $2$ a la izquierda de $b$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Paso 1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [c x]$ .

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Paso 1.5.1

Como $c$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $c x$ con respecto a $x$ es $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d]$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d]$

Paso 1.5.3

Multiplica $c$ por $1$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c + \frac{d}{d x} [d]$

Paso 1.6

Como $d$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $d$ con respecto a $x$ es $0$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c + 0$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Suma $36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c$ y $0$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c$

Paso 1.7.2

Reordena los términos.

$f' (x) = 36 x^{3} + c + 3 x^{2} a + 2 b x$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $36 x^{3} + c + 3 x^{2} a + 2 b x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [36 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36 x^{3}$ con respecto a $x$ es $36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $36$ .

$108 x^{2} + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Paso 2.3

Como $c$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $c$ con respecto a $x$ es $0$ .

$108 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2} a]$ .

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Paso 2.4.1

Como $3 a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2} a$ con respecto a $x$ es $3 a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$108 x^{2} + 0 + 3 a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$108 x^{2} + 0 + 3 a (2 x) + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 b x]$ .

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Paso 2.5.1

Como $2 b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 b x$ con respecto a $x$ es $2 b \frac{d}{d x} [x]$ .

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + 2 b \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + 2 b \cdot 1$

Paso 2.5.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + 2 b$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Suma $108 x^{2}$ y $0$ .

$108 x^{2} + 6 a x + 2 b$

Paso 2.6.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = 108 x^{2} + 2 b + 6 a x$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $108 x^{2} + 2 b + 6 a x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$ .

$\frac{d}{d x} [108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [108 x^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $108$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $108 x^{2}$ con respecto a $x$ es $108 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$108 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$108 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $108$ .

$216 x + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Paso 3.3

Como $2 b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 b$ con respecto a $x$ es $0$ .

$216 x + 0 + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 a x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $6 a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 a x$ con respecto a $x$ es $6 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$216 x + 0 + 6 a \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$216 x + 0 + 6 a \cdot 1$

Paso 3.4.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$216 x + 0 + 6 a$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Suma $216 x$ y $0$ .

$216 x + 6 a$

Paso 3.5.2

Reordena los términos.

$f''' (x) = 6 a + 216 x$