Cálculo Ejemplos

$y = \sin (9 x^{5})$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 9 x^{5}$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 x^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [9 x^{5}]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [9 x^{5}]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 x^{5}$ .

$\cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [9 x^{5}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{5}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\cos (9 x^{5}) (9 \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\cos (9 x^{5}) (9 (5 x^{4}))$

Paso 1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $5$ por $9$ .

$\cos (9 x^{5}) (45 x^{4})$

Paso 1.2.3.2

Reordena los factores de $\cos (9 x^{5}) (45 x^{4})$ .

$f' (x) = 45 x^{4} \cos (9 x^{5})$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $45$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $45 x^{4} \cos (9 x^{5})$ con respecto a $x$ es $45 \frac{d}{d x} [x^{4} \cos (9 x^{5})]$ .

$45 \frac{d}{d x} [x^{4} \cos (9 x^{5})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \cos (9 x^{5})$ .

$45 (x^{4} \frac{d}{d x} [\cos (9 x^{5})] + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 9 x^{5}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 x^{5}$ .

$45 (x^{4} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [9 x^{5}]) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.3.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$45 (x^{4} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [9 x^{5}]) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 x^{5}$ .

$45 (x^{4} (- \sin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [9 x^{5}]) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{5}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$45 (x^{4} (- \sin (9 x^{5}) (9 \frac{d}{d x} [x^{5}])) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.4.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$45 (x^{4} (- 9 \sin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$45 (x^{4} (- 9 \sin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.4.4

Multiplica $5$ por $- 9$ .

$45 (x^{4} (- 45 \sin (9 x^{5}) x^{4}) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.5

Multiplica $x^{4}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.1

Mueve $x^{4}$ .

$45 (x^{4} x^{4} (- 45 \sin (9 x^{5})) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$45 (x^{4 + 4} (- 45 \sin (9 x^{5})) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.5.3

Suma $4$ y $4$ .

$45 (x^{8} (- 45 \sin (9 x^{5})) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$45 (x^{8} (- 45 \sin (9 x^{5})) + \cos (9 x^{5}) (4 x^{3}))$

Paso 2.7

Simplifica.

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Paso 2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$45 (x^{8} (- 45 \sin (9 x^{5}))) + 45 (\cos (9 x^{5}) (4 x^{3}))$

Paso 2.7.2

Combina los términos.

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Paso 2.7.2.1

Multiplica $- 45$ por $45$ .

$- 2025 (x^{8} (\sin (9 x^{5}))) + 45 (\cos (9 x^{5}) (4 x^{3}))$

Paso 2.7.2.2

Multiplica $4$ por $45$ .

$- 2025 x^{8} \sin (9 x^{5}) + 180 \cos (9 x^{5}) x^{3}$

Paso 2.7.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = - 2025 x^{8} \sin (9 x^{5}) + 180 x^{3} \cos (9 x^{5})$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2025 x^{8} \sin (9 x^{5}) + 180 x^{3} \cos (9 x^{5})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2025 x^{8} \sin (9 x^{5})] + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2025 x^{8} \sin (9 x^{5})] + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2025 x^{8} \sin (9 x^{5})]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 2025$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2025 x^{8} \sin (9 x^{5})$ con respecto a $x$ es $- 2025 \frac{d}{d x} [x^{8} \sin (9 x^{5})]$ .

$- 2025 \frac{d}{d x} [x^{8} \sin (9 x^{5})] + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{8}$ y $g (x) = \sin (9 x^{5})$ .

$- 2025 (x^{8} \frac{d}{d x} [\sin (9 x^{5})] + \sin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 9 x^{5}$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $9 x^{5}$ .

$- 2025 (x^{8} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [9 x^{5}]) + \sin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Paso 3.2.3.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$- 2025 (x^{8} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [9 x^{5}]) + \sin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $9 x^{5}$ .

$- 2025 (x^{8} (\cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [9 x^{5}]) + \sin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Paso 3.2.4

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{5}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 2025 (x^{8} (\cos (9 x^{5}) (9 \frac{d}{d x} [x^{5}])) + \sin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Paso 3.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- 2025 (x^{8} (\cos (9 x^{5}) (9 (5 x^{4}))) + \sin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$- 2025 (x^{8} (\cos (9 x^{5}) (9 (5 x^{4}))) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Paso 3.2.7

Multiplica $5$ por $9$ .

$- 2025 (x^{8} (\cos (9 x^{5}) (45 x^{4})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Paso 3.2.8

Multiplica $x^{8}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.8.1

Mueve $x^{4}$ .

$- 2025 (x^{4} x^{8} (\cos (9 x^{5}) \cdot (45)) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Paso 3.2.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2025 (x^{4 + 8} (\cos (9 x^{5}) \cdot (45)) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Paso 3.2.8.3

Suma $4$ y $8$ .

$- 2025 (x^{12} (\cos (9 x^{5}) \cdot (45)) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Paso 3.2.9

Mueve $45$ a la izquierda de $\cos (9 x^{5})$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$ .

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Paso 3.3.1

Como $180$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $180 x^{3} \cos (9 x^{5})$ con respecto a $x$ es $180 \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (9 x^{5})]$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \cos (9 x^{5})$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (9 x^{5})] + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 9 x^{5}$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $9 x^{5}$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x^{5}]) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3.3.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{3} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x^{5}]) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $9 x^{5}$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{3} (- \sin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [9 x^{5}]) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3.4

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{5}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{3} (- \sin (9 x^{5}) (9 \frac{d}{d x} [x^{5}])) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{3} (- \sin (9 x^{5}) (9 (5 x^{4}))) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{3} (- \sin (9 x^{5}) (9 (5 x^{4}))) + \cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Paso 3.3.7

Multiplica $5$ por $9$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{3} (- \sin (9 x^{5}) (45 x^{4})) + \cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Paso 3.3.8

Multiplica $45$ por $- 1$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{3} (- 45 \sin (9 x^{5}) x^{4}) + \cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Paso 3.3.9

Multiplica $x^{3}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.9.1

Mueve $x^{4}$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{4} x^{3} (- 45 \sin (9 x^{5})) + \cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Paso 3.3.9.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{4 + 3} (- 45 \sin (9 x^{5})) + \cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Paso 3.3.9.3

Suma $4$ y $3$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{7} (- 45 \sin (9 x^{5})) + \cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5}))) - 2025 (\sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{7} (- 45 \sin (9 x^{5})) + \cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Paso 3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5}))) - 2025 (\sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{7} (- 45 \sin (9 x^{5}))) + 180 (\cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Paso 3.4.3

Combina los términos.

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Paso 3.4.3.1

Multiplica $45$ por $- 2025$ .

$- 91125 (x^{12} (\cos (9 x^{5}))) - 2025 (\sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{7} (- 45 \sin (9 x^{5}))) + 180 (\cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Paso 3.4.3.2

Multiplica $8$ por $- 2025$ .

$- 91125 x^{12} \cos (9 x^{5}) - 16200 (\sin (9 x^{5}) (x^{7})) + 180 (x^{7} (- 45 \sin (9 x^{5}))) + 180 (\cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Paso 3.4.3.3

Multiplica $- 45$ por $180$ .

$- 91125 x^{12} \cos (9 x^{5}) - 16200 \sin (9 x^{5}) x^{7} - 8100 (x^{7} (\sin (9 x^{5}))) + 180 (\cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Paso 3.4.3.4

Multiplica $3$ por $180$ .

$- 91125 x^{12} \cos (9 x^{5}) - 16200 \sin (9 x^{5}) x^{7} - 8100 x^{7} \sin (9 x^{5}) + 540 (\cos (9 x^{5}) (x^{2}))$

Paso 3.4.3.5

Resta $8100 x^{7} \sin (9 x^{5})$ de $- 16200 \sin (9 x^{5}) x^{7}$ .

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Paso 3.4.3.5.1

Mueve $\sin (9 x^{5})$ .

$- 91125 x^{12} \cos (9 x^{5}) - 16200 x^{7} \sin (9 x^{5}) - 8100 x^{7} \sin (9 x^{5}) + 540 \cos (9 x^{5}) x^{2}$

Paso 3.4.3.5.2

Resta $8100 x^{7} \sin (9 x^{5})$ de $- 16200 x^{7} \sin (9 x^{5})$ .

$- 91125 x^{12} \cos (9 x^{5}) - 24300 x^{7} \sin (9 x^{5}) + 540 \cos (9 x^{5}) x^{2}$

Paso 3.4.4

Reordena los términos.

$f''' (x) = - 91125 x^{12} \cos (9 x^{5}) - 24300 x^{7} \sin (9 x^{5}) + 540 x^{2} \cos (9 x^{5})$