Cálculo Ejemplos

$f (t) = \sqrt{8 t^{2}} - t$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{8 t^{2}} - t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}]$ .

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Paso 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{8 t^{2}}$ como ${(8 t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [{(8 t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Paso 1.2.2

Factoriza $8$ de $8 t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [{(8 (t^{2}))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Paso 1.2.3

Aplica la regla del producto a $8 (t^{2})$ .

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} {(t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Paso 1.2.4

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.2.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{2 (\frac{1}{2})}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Paso 1.2.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{2 (\frac{1}{2})}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Paso 1.2.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{1}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Paso 1.2.5

Simplifica.

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t] + \frac{d}{d t} [- t]$

Paso 1.2.6

Como $8^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $8^{\frac{1}{2}} t$ con respecto a $t$ es $8^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$ .

$8^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t]$

Paso 1.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t]$

Paso 1.2.8

Multiplica $8^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$8^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [- t]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$8^{\frac{1}{2}} - \frac{d}{d t} [t]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (t) = 8^{\frac{1}{2}} - 1$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8^{\frac{1}{2}} - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.2

Como $8^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $8^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + 0$

Paso 2.4

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (t) = 0$

Paso 3

La segunda derivada de $f (t)$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0$