Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3}}{1 - 7 x^{7}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 1 - 7 x^{7}$ .

$\frac{(1 - 7 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 7 x^{7}]}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{(1 - 7 x^{7}) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 7 x^{7}]}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Paso 1.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $1 - 7 x^{7}$ .

$\frac{3 \cdot (1 - 7 x^{7}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 7 x^{7}]}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 7 x^{7}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{7}]$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{7}])}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Paso 1.2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} - x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 7 x^{7}])}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Paso 1.2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 7 x^{7}]$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [- 7 x^{7}]}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Paso 1.2.6

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x^{7}$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} - x^{3} (- 7 \frac{d}{d x} [x^{7}])}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Paso 1.2.7

Multiplica $- 7$ por $- 1$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 7 x^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Paso 1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 7 x^{3} (7 x^{6})}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Paso 1.2.9

Multiplica $7$ por $7$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 49 x^{3} x^{6}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Paso 1.3

Multiplica $x^{3}$ por $x^{6}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1

Mueve $x^{6}$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 49 (x^{6} x^{3})}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Paso 1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 49 x^{6 + 3}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Paso 1.3.3

Suma $6$ y $3$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 \cdot 1 + 3 (- 7 x^{7})) x^{2} + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Paso 1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 1 x^{2} + 3 (- 7 x^{7}) x^{2} + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Paso 1.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.3.1.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 7 x^{7}) x^{2} + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Paso 1.4.3.1.2

Multiplica $x^{7}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.3.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 7 (x^{2} x^{7})) + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Paso 1.4.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 7 x^{2 + 7}) + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Paso 1.4.3.1.2.3

Suma $2$ y $7$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 7 x^{9}) + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Paso 1.4.3.1.3

Multiplica $- 7$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 21 x^{9} + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Paso 1.4.3.2

Suma $- 21 x^{9}$ y $49 x^{9}$ .

$\frac{3 x^{2} + 28 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Paso 1.4.4

Reordena los términos.

$\frac{28 x^{9} + 3 x^{2}}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}}$

Paso 1.4.5

Factoriza $x^{2}$ de $28 x^{9} + 3 x^{2}$ .

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Paso 1.4.5.1

Factoriza $x^{2}$ de $28 x^{9}$ .

$\frac{x^{2} (28 x^{7}) + 3 x^{2}}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}}$

Paso 1.4.5.2

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (28 x^{7}) + x^{2} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}}$

Paso 1.4.5.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (28 x^{7}) + x^{2} \cdot 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (28 x^{7} + 3)] - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{({(- 7 x^{7} + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${({(- 7 x^{7} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (28 x^{7} + 3)] - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (28 x^{7} + 3)] - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 28 x^{7} + 3$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [28 x^{7} + 3] + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $28 x^{7} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [28 x^{7}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (\frac{d}{d x} [28 x^{7}] + \frac{d}{d x} [3]) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.2

Como $28$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $28 x^{7}$ con respecto a $x$ es $28 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (28 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [3]) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (28 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [3]) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.4

Multiplica $7$ por $28$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (196 x^{6} + \frac{d}{d x} [3]) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (196 x^{6} + 0) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.6

Suma $196 x^{6}$ y $0$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (196 x^{6}) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5

Multiplica $x^{2}$ por $x^{6}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.1

Mueve $x^{6}$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{6} x^{2} \cdot 196 + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{6 + 2} \cdot 196 + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3

Suma $6$ y $2$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{8} \cdot 196 + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.6.1

Mueve $196$ a la izquierda de $x^{8}$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 \cdot x^{8} + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Paso 2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + (28 x^{7} + 3) (2 x)) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Paso 2.6.3

Mueve $2$ a la izquierda de $28 x^{7} + 3$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 \cdot (28 x^{7} + 3) x) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = - 7 x^{7} + 1$ .

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Paso 2.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 7 x^{7} + 1$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Paso 2.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - x^{2} (28 x^{7} + 3) (2 u \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Paso 2.7.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 7 x^{7} + 1$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - x^{2} (28 x^{7} + 3) (2 (- 7 x^{7} + 1) \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Paso 2.8

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.8.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) ((- 7 x^{7} + 1) \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Paso 2.8.2

Factoriza $- 7 x^{7} + 1$ de ${(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) ((- 7 x^{7} + 1) \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])$ .

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Paso 2.8.2.1

Factoriza $- 7 x^{7} + 1$ de ${(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x)$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x)) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) ((- 7 x^{7} + 1) \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Paso 2.8.2.2

Factoriza $- 7 x^{7} + 1$ de $- 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) ((- 7 x^{7} + 1) \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x)) + (- 7 x^{7} + 1) (- 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1]))}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Paso 2.8.2.3

Factoriza $- 7 x^{7} + 1$ de $(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x)) + (- 7 x^{7} + 1) (- 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1]))$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1]))}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Paso 2.9

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.9.1

Factoriza $- 7 x^{7} + 1$ de ${(- 7 x^{7} + 1)}^{4}$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1]))}{(- 7 x^{7} + 1) {(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.9.2

Cancela el factor común.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1]))}{(- 7 x^{7} + 1) {(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10

Según la regla de la suma, la derivada de $- 7 x^{7} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 7 x^{7}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.11

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x^{7}$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (- 7 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (- 7 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.13

Multiplica $7$ por $- 7$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (- 49 x^{6} + \frac{d}{d x} [1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.14

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (- 49 x^{6} + 0)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.15

Simplifica la expresión.

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Paso 2.15.1

Suma $- 49 x^{6}$ y $0$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (- 49 x^{6})}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.15.2

Multiplica $- 49$ por $- 2$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) + 98 x^{2} (28 x^{7} + 3) x^{6}}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.16

Multiplica $x^{2}$ por $x^{6}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.16.1

Mueve $x^{6}$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) + 98 (x^{6} x^{2}) (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.16.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) + 98 x^{6 + 2} (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.16.3

Suma $6$ y $2$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) + 98 x^{8} (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17

Simplifica.

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Paso 2.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + (2 (28 x^{7}) + 2 \cdot 3) x) + 98 x^{8} (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7}) x + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7}) x + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.17.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.17.4.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.17.4.1.1.1

Multiplica $x^{7}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.17.4.1.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 (x \cdot x^{7})) + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{7}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.17.4.1.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 (x^{1} x^{7})) + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{1 + 7}) + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.1.1.3

Suma $1$ y $7$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{8}) + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.1.2

Multiplica $28$ por $2$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 56 x^{8} + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 56 x^{8} + 6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.2

Suma $196 x^{8}$ y $56 x^{8}$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (252 x^{8} + 6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.3

Expande $(- 7 x^{7} + 1) (252 x^{8} + 6 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.17.4.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 7 x^{7} (252 x^{8} + 6 x) + 1 (252 x^{8} + 6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 7 x^{7} (252 x^{8}) - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8} + 6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 7 x^{7} (252 x^{8}) - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.17.4.1.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.17.4.1.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 7 \cdot 252 x^{7} x^{8} - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.4.1.2

Multiplica $x^{7}$ por $x^{8}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.17.4.1.4.1.2.1

Mueve $x^{8}$ .

$\frac{- 7 \cdot 252 (x^{8} x^{7}) - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 7 \cdot 252 x^{8 + 7} - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.4.1.2.3

Suma $8$ y $7$ .

$\frac{- 7 \cdot 252 x^{15} - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.4.1.3

Multiplica $- 7$ por $252$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.4.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 \cdot 6 x^{7} x + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.4.1.5

Multiplica $x^{7}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.17.4.1.4.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 \cdot 6 (x \cdot x^{7}) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.4.1.5.2

Multiplica $x$ por $x^{7}$ .

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Paso 2.17.4.1.4.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 \cdot 6 (x^{1} x^{7}) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.4.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 \cdot 6 x^{1 + 7} + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.4.1.5.3

Suma $1$ y $7$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 \cdot 6 x^{8} + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.4.1.6

Multiplica $- 7$ por $6$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 42 x^{8} + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.4.1.7

Multiplica $252 x^{8}$ por $1$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 42 x^{8} + 252 x^{8} + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.4.1.8

Multiplica $6 x$ por $1$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 42 x^{8} + 252 x^{8} + 6 x + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.4.2

Suma $- 42 x^{8}$ y $252 x^{8}$ .

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 98 \cdot 28 x^{8} x^{7} + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.6

Multiplica $x^{8}$ por $x^{7}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.17.4.1.6.1

Mueve $x^{7}$ .

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 98 \cdot 28 (x^{7} x^{8}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 98 \cdot 28 x^{7 + 8} + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.6.3

Suma $7$ y $8$ .

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 98 \cdot 28 x^{15} + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.7

Multiplica $98$ por $28$ .

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 2744 x^{15} + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.1.8

Multiplica $3$ por $98$ .

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 2744 x^{15} + 294 x^{8}}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.2

Suma $- 1764 x^{15}$ y $2744 x^{15}$ .

$\frac{980 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 294 x^{8}}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.4.3

Suma $210 x^{8}$ y $294 x^{8}$ .

$\frac{980 x^{15} + 504 x^{8} + 6 x}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.5

Factoriza $2 x$ de $980 x^{15} + 504 x^{8} + 6 x$ .

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Paso 2.17.5.1

Factoriza $2 x$ de $980 x^{15}$ .

$\frac{2 x (490 x^{14}) + 504 x^{8} + 6 x}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.5.2

Factoriza $2 x$ de $504 x^{8}$ .

$\frac{2 x (490 x^{14}) + 2 x (252 x^{7}) + 6 x}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.5.3

Factoriza $2 x$ de $6 x$ .

$\frac{2 x (490 x^{14}) + 2 x (252 x^{7}) + 2 x (3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.5.4

Factoriza $2 x$ de $2 x (490 x^{14}) + 2 x (252 x^{7})$ .

$\frac{2 x (490 x^{14} + 252 x^{7}) + 2 x (3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17.5.5

Factoriza $2 x$ de $2 x (490 x^{14} + 252 x^{7}) + 2 x (3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (490 x^{14} + 252 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2 x (490 x^{14} + 252 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (490 x^{14} + 252 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$