Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} + 5 x$ y $g (x) = 25 - x^{2}$ .

$\frac{(25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x] - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [5 x]) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \cdot 1) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $25 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.7

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.8

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.10

Multiplica.

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Paso 1.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 1 (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.10.2

Multiplica $x^{2} + 5 x$ por $1$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.12

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 5 x$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 \cdot (x^{2} + 5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (2 x^{2} + 2 (5 x)) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Expande $(25 - x^{2}) (2 x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{25 (2 x + 5) - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.2.1

Multiplica $2$ por $25$ .

$\frac{50 x + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.2

Multiplica $25$ por $5$ .

$\frac{50 x + 125 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.3.1.2.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.3.3.1.2.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.3.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.3.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 (x \cdot x))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.5

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Combina los términos opuestos en $50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Suma $- 2 x^{3}$ y $2 x^{3}$ .

$\frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 0 + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3.2.2

Suma $50 x + 125 - 5 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3.3

Suma $- 5 x^{2}$ y $10 x^{2}$ .

$\frac{50 x + 125 + 5 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.4

Reordena los términos.

$\frac{5 x^{2} + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.5.1

Factoriza $5$ de $5 x^{2} + 50 x + 125$ .

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Paso 1.3.5.1.1

Factoriza $5$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.2

Factoriza $5$ de $50 x$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 (10 x) + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.3

Factoriza $5$ de $125$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 (10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.4

Factoriza $5$ de $5 x^{2} + 5 (10 x)$ .

$\frac{5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.5

Factoriza $5$ de $5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25$ .

$\frac{5 (x^{2} + 10 x + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 1.3.5.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.3.5.2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 1.3.5.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 1.3.5.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{5 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 1.3.5.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 1.3.6

Simplifica el denominador.

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Paso 1.3.6.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 5^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.6.2

Reordena $- x^{2}$ y $5^{2}$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5^{2} - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.6.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 5$ y $b = x$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{((5 + x) (5 - x))}^{2}}$

Paso 1.3.6.4

Aplica la regla del producto a $(5 + x) (5 - x)$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Paso 1.3.7

Cancela el factor común de ${(x + 5)}^{2}$ y ${(5 + x)}^{2}$ .

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Paso 1.3.7.1

Reordena los términos.

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Paso 1.3.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Paso 1.3.7.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}]$

Paso 2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}$ como ${({(5 - x)}^{2})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{({(5 - x)}^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(5 - x)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{2 \cdot - 1}]$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{- 2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = 5 - x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 - x$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$5 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 - x$ .

$5 (- 2 {(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$- 10 ({(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$10 {(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 {(5 - x)}^{- 3} \cdot 1$

Paso 2.3.8

Multiplica $10$ por $1$ .

$10 {(5 - x)}^{- 3}$

Paso 2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{1}{{(5 - x)}^{3}}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Combina $10$ y $\frac{1}{{(5 - x)}^{3}}$ .

$\frac{10}{{(5 - x)}^{3}}$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{10}{{(- x + 5)}^{3}}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{10}{{(- x + 5)}^{3}}$ .

$\frac{10}{{(- x + 5)}^{3}}$