Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x {(x + 4)}^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x + 4)}^{2}$ como $(x + 4) (x + 4)$ .

$\frac{d}{d x} [3 x ((x + 4) (x + 4))]$

Paso 1.2

Expande $(x + 4) (x + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 x (x (x + 4) + 4 (x + 4))]$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 x (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4))]$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 x (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)]$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)]$

Paso 1.3.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4)]$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 4 x + 4 x + 16)]$

Paso 1.3.2

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 8 x + 16)]$

Paso 1.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x (x^{2} + 8 x + 16)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 8 x + 16)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 8 x + 16)]$

Paso 1.5

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} + 8 x + 16$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 16] + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.6

Diferencia.

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Paso 1.6.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 8 x + 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (x (2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.6.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.6.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x (2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.6.5

Multiplica $8$ por $1$ .

$3 (x (2 x + 8 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.6.6

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (x (2 x + 8 + 0) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.6.7

Suma $2 x + 8$ y $0$ .

$3 (x (2 x + 8) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.6.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x (2 x + 8) + (x^{2} + 8 x + 16) \cdot 1)$

Paso 1.6.9

Multiplica $x^{2} + 8 x + 16$ por $1$ .

$3 (x (2 x + 8) + x^{2} + 8 x + 16)$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x (2 x) + x \cdot 8 + x^{2} + 8 x + 16)$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x (2 x)) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Paso 1.7.3

Combina los términos.

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Paso 1.7.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 (2 (x^{1} x)) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Paso 1.7.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 (2 (x^{1} x^{1})) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Paso 1.7.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 (2 x^{1 + 1}) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Paso 1.7.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$3 (2 x^{2}) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Paso 1.7.3.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x^{2} + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Paso 1.7.3.6

Mueve $8$ a la izquierda de $x$ .

$6 x^{2} + 3 (8 \cdot x) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Paso 1.7.3.7

Multiplica $8$ por $3$ .

$6 x^{2} + 24 x + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Paso 1.7.3.8

Suma $6 x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$9 x^{2} + 24 x + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Paso 1.7.3.9

Multiplica $8$ por $3$ .

$9 x^{2} + 24 x + 24 x + 3 \cdot 16$

Paso 1.7.3.10

Suma $24 x$ y $24 x$ .

$9 x^{2} + 48 x + 3 \cdot 16$

Paso 1.7.3.11

Multiplica $3$ por $16$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 48 x + 48$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{2} + 48 x + 48$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $48 x$ con respecto a $x$ es $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 x + 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [48]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$18 x + 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [48]$

Paso 2.3.3

Multiplica $48$ por $1$ .

$18 x + 48 + \frac{d}{d x} [48]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $48$ con respecto a $x$ es $0$ .

$18 x + 48 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $18 x + 48$ y $0$ .

$f'' (x) = 18 x + 48$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $18 x + 48$ .

$18 x + 48$