Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} i + 2 x j + x k$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2}{3} \cdot (x^{\frac{3}{2}} i) + 2 x j + x k$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} \cdot (x^{\frac{3}{2}} i)] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} \cdot (x^{\frac{3}{2}} i)] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} \cdot (x^{\frac{3}{2}} i)]$ .

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Paso 1.2.1

Combina $x^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} \cdot i] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Paso 1.2.2

Combina $\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ y $i$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 i}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Paso 1.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 \cdot x^{\frac{3}{2}} i}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Paso 1.2.4

Como $\frac{2 i}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x^{\frac{3}{2}} i}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{2 i}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2 i}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Paso 1.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Paso 1.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Paso 1.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Paso 1.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Paso 1.2.9.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Paso 1.2.10

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 i}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Paso 1.2.11

Multiplica $\frac{2 i}{3}$ por $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 i (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Paso 1.2.12

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 i x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Paso 1.2.13

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 i x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Paso 1.2.14

Cancela el factor común.

$\frac{6 i x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Paso 1.2.15

Divide $i x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x j]$ .

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Paso 1.3.1

Como $2 j$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x j$ con respecto a $x$ es $2 j \frac{d}{d x} [x]$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x k]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x k]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + \frac{d}{d x} [x k]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [x k]$ .

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Paso 1.4.1

Como $k$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x k$ con respecto a $x$ es $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + k \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + k \cdot 1$

Paso 1.4.3

Multiplica $k$ por $1$ .

$f' (x) = i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + k$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + k$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [i x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$ .

$\frac{d}{d x} [i x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [i x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $i$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $i x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $i \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$i \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Paso 2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Paso 2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Paso 2.2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Paso 2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$i (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Paso 2.2.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$i \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Paso 2.2.9

Combina $i$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{i x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Paso 2.2.10

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $2 j$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 j$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 + \frac{d}{d x} [k]$

Paso 2.3.2

Como $k$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $k$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 + 0$

Paso 2.4

Combina los términos.

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Paso 2.4.1

Suma $\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Paso 2.4.2

Suma $\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$