Cálculo Ejemplos

$V (t) = A e^{k t} \sin (b t)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $A$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $A e^{k t} \sin (b t)$ con respecto a $t$ es $A \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$ .

$A \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = e^{k t}$ y $g (t) = \sin (b t)$ .

$A (e^{k t} \frac{d}{d t} [\sin (b t)] + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \sin (t)$ y $g (t) = b t$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $b t$ .

$A (e^{k t} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Paso 1.3.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$A (e^{k t} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $b t$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Como $b$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $b t$ con respecto a $t$ es $b \frac{d}{d t} [t]$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) (b \frac{d}{d t} [t])) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Paso 1.4.3

Multiplica $b$ por $1$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = k t$ .

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Paso 1.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $k t$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [k t]))$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [k t]))$

Paso 1.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $k t$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} \frac{d}{d t} [k t]))$

Paso 1.6

Diferencia.

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Paso 1.6.1

Como $k$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $k t$ con respecto a $t$ es $k \frac{d}{d t} [t]$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} (k \frac{d}{d t} [t])))$

Paso 1.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} (k \cdot 1)))$

Paso 1.6.3

Multiplica $k$ por $1$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} k))$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$A (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A (\sin (b t) (e^{k t} k))$

Paso 1.7.2

Elimina los paréntesis.

$A e^{k t} (\cos (b t) b) + A \sin (b t) (e^{k t} k)$

Paso 1.7.3

Reordena los términos.

$e^{k t} A b \cos (b t) + e^{k t} A k \sin (b t)$

Paso 1.7.4

Reordena los factores en $e^{k t} A b \cos (b t) + e^{k t} A k \sin (b t)$ .

$f' (t) = A b e^{k t} \cos (b t) + A k e^{k t} \sin (b t)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $A b e^{k t} \cos (b t) + A k e^{k t} \sin (b t)$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [A b e^{k t} \cos (b t)] + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$ .

$\frac{d}{d t} [A b e^{k t} \cos (b t)] + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [A b e^{k t} \cos (b t)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $A b$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $A b e^{k t} \cos (b t)$ con respecto a $t$ es $A b \frac{d}{d t} [e^{k t} \cos (b t)]$ .

$A b \frac{d}{d t} [e^{k t} \cos (b t)] + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = e^{k t}$ y $g (t) = \cos (b t)$ .

$A b (e^{k t} \frac{d}{d t} [\cos (b t)] + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = b t$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $b t$ .

$A b (e^{k t} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [b t]) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Paso 2.2.3.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [b t]) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $b t$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) \frac{d}{d t} [b t]) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Paso 2.2.4

Como $b$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $b t$ con respecto a $t$ es $b \frac{d}{d t} [t]$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \frac{d}{d t} [t])) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = k t$ .

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Paso 2.2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $k t$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [k t])) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Paso 2.2.6.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [k t])) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Paso 2.2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $k t$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (e^{k t} \frac{d}{d t} [k t])) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Paso 2.2.7

Como $k$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $k t$ con respecto a $t$ es $k \frac{d}{d t} [t]$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (e^{k t} (k \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Paso 2.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (e^{k t} (k \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Paso 2.2.9

Multiplica $b$ por $1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} (k \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Paso 2.2.10

Multiplica $k$ por $1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $A k$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $A k e^{k t} \sin (b t)$ con respecto a $t$ es $A k \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = e^{k t}$ y $g (t) = \sin (b t)$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} \frac{d}{d t} [\sin (b t)] + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \sin (t)$ y $g (t) = b t$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $b t$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Paso 2.3.3.2

La derivada de $\sin (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $\cos (u_{3})$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $b t$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Paso 2.3.4

Como $b$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $b t$ con respecto a $t$ es $b \frac{d}{d t} [t]$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \frac{d}{d t} [t])) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = k t$ .

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Paso 2.3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{4}$ como $k t$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d t} [k t]))$

Paso 2.3.6.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ es $a^{u_{4}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (e^{u_{4}} \frac{d}{d t} [k t]))$

Paso 2.3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{4}$ con $k t$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (e^{k t} \frac{d}{d t} [k t]))$

Paso 2.3.7

Como $k$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $k t$ con respecto a $t$ es $k \frac{d}{d t} [t]$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (e^{k t} (k \frac{d}{d t} [t])))$

Paso 2.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (e^{k t} (k \cdot 1)))$

Paso 2.3.9

Multiplica $b$ por $1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} (k \cdot 1)))$

Paso 2.3.10

Multiplica $k$ por $1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} k))$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b)) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} k))$

Paso 2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b)) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

Paso 2.4.3

Combina los términos.

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Paso 2.4.3.1

Eleva $b$ a la potencia de $1$ .

$A (b^{1} b) (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

Paso 2.4.3.2

Eleva $b$ a la potencia de $1$ .

$A (b^{1} b^{1}) (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

Paso 2.4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$A b^{1 + 1} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

Paso 2.4.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

Paso 2.4.3.5

Eleva $k$ a la potencia de $1$ .

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A (k^{1} k) (\sin (b t) (e^{k t}))$

Paso 2.4.3.6

Eleva $k$ a la potencia de $1$ .

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A (k^{1} k^{1}) (\sin (b t) (e^{k t}))$

Paso 2.4.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k^{1 + 1} (\sin (b t) (e^{k t}))$

Paso 2.4.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k^{2} (\sin (b t) (e^{k t}))$

Paso 2.4.3.9

Reordena $k$ y $b$ .

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + b k A e^{k t} \cos (b t) + b k A e^{k t} \cos (b t) + A k^{2} (\sin (b t) (e^{k t}))$

Paso 2.4.3.10

Suma $b k A e^{k t} \cos (b t)$ y $b k A e^{k t} \cos (b t)$ .

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + 2 b k A e^{k t} \cos (b t) + A k^{2} (\sin (b t) (e^{k t}))$

Paso 2.4.4

Reordena los términos.

$- e^{k t} b^{2} A \sin (b t) + 2 e^{k t} A b k \cos (b t) + e^{k t} k^{2} A \sin (b t)$

Paso 2.4.5

Reordena los factores en $- e^{k t} b^{2} A \sin (b t) + 2 e^{k t} A b k \cos (b t) + e^{k t} k^{2} A \sin (b t)$ .

$f'' (t) = - b^{2} A e^{k t} \sin (b t) + 2 A b k e^{k t} \cos (b t) + k^{2} A e^{k t} \sin (b t)$

Paso 3

La segunda derivada de $V (t)$ con respecto a $t$ es $- b^{2} A e^{k t} \sin (b t) + 2 A b k e^{k t} \cos (b t) + k^{2} A e^{k t} \sin (b t)$ .

$- b^{2} A e^{k t} \sin (b t) + 2 A b k e^{k t} \cos (b t) + k^{2} A e^{k t} \sin (b t)$