Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x + 5}{- 6 x - 8}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x + 5$ y $g (x) = - 6 x - 8$ .

$\frac{(- 6 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 5] - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(- 6 x - 8) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(- 6 x - 8) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(- 6 x - 8) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(- 6 x - 8) (2 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(- 6 x - 8) (2 + 0) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{(- 6 x - 8) \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $- 6 x - 8$ .

$\frac{2 \cdot (- 6 x - 8) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $- 6 x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{2 (- 6 x - 8) - (2 x + 5) (\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.8

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (- 6 x - 8) - (2 x + 5) (- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (- 6 x - 8) - (2 x + 5) (- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.10

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$\frac{2 (- 6 x - 8) - (2 x + 5) (- 6 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.11

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (- 6 x - 8) - (2 x + 5) (- 6 + 0)}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.12.1

Suma $- 6$ y $0$ .

$\frac{2 (- 6 x - 8) - (2 x + 5) \cdot - 6}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.12.2

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{2 (- 6 x - 8) + 6 (2 x + 5)}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- 6 x) + 2 \cdot - 8 + 6 (2 x + 5)}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- 6 x) + 2 \cdot - 8 + 6 (2 x) + 6 \cdot 5}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$\frac{- 12 x + 2 \cdot - 8 + 6 (2 x) + 6 \cdot 5}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$\frac{- 12 x - 16 + 6 (2 x) + 6 \cdot 5}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{- 12 x - 16 + 12 x + 6 \cdot 5}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.4

Multiplica $6$ por $5$ .

$\frac{- 12 x - 16 + 12 x + 30}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Combina los términos opuestos en $- 12 x - 16 + 12 x + 30$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Suma $- 12 x$ y $12 x$ .

$\frac{0 - 16 + 30}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2.2

Resta $16$ de $0$ .

$\frac{- 16 + 30}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.3.3

Suma $- 16$ y $30$ .

$\frac{14}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.3.4.1

Factoriza $2$ de $- 6 x - 8$ .

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Paso 1.3.4.1.1

Factoriza $2$ de $- 6 x$ .

$\frac{14}{{(2 (- 3 x) - 8)}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.2

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$\frac{14}{{(2 (- 3 x) + 2 (- 4))}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.3

Factoriza $2$ de $2 (- 3 x) + 2 (- 4)$ .

$\frac{14}{{(2 (- 3 x - 4))}^{2}}$

Paso 1.3.4.2

Aplica la regla del producto a $2 (- 3 x - 4)$ .

$\frac{14}{2^{2} {(- 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.3.4.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{14}{4 {(- 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Cancela el factor común de $14$ y $4$ .

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Paso 1.3.5.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$\frac{2 (7)}{4 {(- 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $4 {(- 3 x - 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (7)}{2 (2 {(- 3 x - 4)}^{2})}$

Paso 1.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 7}{2 (2 {(- 3 x - 4)}^{2})}$

Paso 1.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{7}{2 {(- 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $\frac{7}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{7}{2 {(- 3 x - 4)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 3 x - 4)}^{2}}]$ .

$\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 3 x - 4)}^{2}}]$

Paso 2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(- 3 x - 4)}^{2}}$ como ${({(- 3 x - 4)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [{({(- 3 x - 4)}^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(- 3 x - 4)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [{(- 3 x - 4)}^{2 \cdot - 1}]$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [{(- 3 x - 4)}^{- 2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = - 3 x - 4$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 3 x - 4$ .

$\frac{7}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- 3 x - 4])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$\frac{7}{2} (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 3 x - 4$ .

$\frac{7}{2} (- 2 {(- 3 x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Combina $- 2$ y $\frac{7}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 7}{2} ({(- 3 x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4])$

Paso 2.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $- 2$ por $7$ .

$\frac{- 14}{2} ({(- 3 x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4])$

Paso 2.3.2.2

Combina ${(- 3 x - 4)}^{- 3}$ y $\frac{- 14}{2}$ .

$\frac{{(- 3 x - 4)}^{- 3} \cdot - 14}{2} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Paso 2.3.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.2.3.1

Mueve $- 14$ a la izquierda de ${(- 3 x - 4)}^{- 3}$ .

$\frac{- 14 \cdot {(- 3 x - 4)}^{- 3}}{2} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Paso 2.3.2.3.2

Mueve ${(- 3 x - 4)}^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 14}{2 {(- 3 x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Paso 2.3.2.4

Cancela el factor común de $- 14$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.4.1

Factoriza $2$ de $- 14$ .

$\frac{2 \cdot - 7}{2 {(- 3 x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Paso 2.3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2 {(- 3 x - 4)}^{3}$ .

$\frac{2 \cdot - 7}{2 ({(- 3 x - 4)}^{3})} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Paso 2.3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 7}{2 {(- 3 x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Paso 2.3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Paso 2.3.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 2.3.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} (- 3 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 2.3.7

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} (- 3 + 0)$

Paso 2.3.8

Combina fracciones.

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Paso 2.3.8.1

Suma $- 3$ y $0$ .

$- \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} \cdot - 3$

Paso 2.3.8.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$3 \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}}$

Paso 2.3.8.3

Combina $3$ y $\frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 7}{{(- 3 x - 4)}^{3}}$

Paso 2.3.8.4

Multiplica $3$ por $7$ .

$f'' (x) = \frac{21}{{(- 3 x - 4)}^{3}}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{21}{{(- 3 x - 4)}^{3}}$ .

$\frac{21}{{(- 3 x - 4)}^{3}}$