Cálculo Ejemplos

$f (x) = 1 + x + \frac{1}{6} x^{2} + \frac{1}{12} x^{3} + \frac{1}{16} x^{4} + \frac{1}{80} x^{5}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x + \frac{1}{6} x^{2} + \frac{1}{12} x^{3} + \frac{1}{16} x^{4} + \frac{1}{80} x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{16} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{16} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{16} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{16} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{6} x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 1 + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{16} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 1 + \frac{1}{6} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{16} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{6}$ .

$0 + 1 + \frac{2}{6} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{16} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.2.4

Combina $\frac{2}{6}$ y $x$ .

$0 + 1 + \frac{2 x}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{16} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.2.5

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 1.2.5.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$0 + 1 + \frac{2 (x)}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{16} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$0 + 1 + \frac{2 x}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{16} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$0 + 1 + \frac{2 x}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{16} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{16} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{3}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{12} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{16} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{1}{12} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{16} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.3.3

Combina $3$ y $\frac{1}{12}$ .

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{3}{12} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{16} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.3.4

Combina $\frac{3}{12}$ y $x^{2}$ .

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{3 x^{2}}{12} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{16} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.3.5

Cancela el factor común de $3$ y $12$ .

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Paso 1.3.5.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{3 (x^{2})}{12} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{16} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.5.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{16} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{16} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{16} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{16} x^{4}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $\frac{1}{16}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{16} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{16} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.4.3

Combina $4$ y $\frac{1}{16}$ .

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{4}{16} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.4.4

Combina $\frac{4}{16}$ y $x^{3}$ .

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x^{3}}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.4.5

Cancela el factor común de $4$ y $16$ .

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Paso 1.4.5.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (x^{3})}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.5.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.4.5.2.2

Cancela el factor común.

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$

Paso 1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{80} x^{5}]$ .

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Paso 1.5.1

Como $\frac{1}{80}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{80} x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{80} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{80} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{80} (5 x^{4})$

Paso 1.5.3

Combina $5$ y $\frac{1}{80}$ .

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{5}{80} x^{4}$

Paso 1.5.4

Combina $\frac{5}{80}$ y $x^{4}$ .

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{5 x^{4}}{80}$

Paso 1.5.5

Cancela el factor común de $5$ y $80$ .

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Paso 1.5.5.1

Factoriza $5$ de $5 x^{4}$ .

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{5 (x^{4})}{80}$

Paso 1.5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.5.2.1

Factoriza $5$ de $80$ .

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{5 x^{4}}{5 \cdot 16}$

Paso 1.5.5.2.2

Cancela el factor común.

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{5 x^{4}}{5 \cdot 16}$

Paso 1.5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$0 + 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{4}}{16}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Suma $0$ y $1$ .

$1 + \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{4}}{16}$

Paso 1.6.2

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{3} + 1$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{16}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{1}{16}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{4}}{16}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{16} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{16}$ .

$\frac{4}{16} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.4

Combina $\frac{4}{16}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.5

Cancela el factor común de $4$ y $16$ .

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Paso 2.2.5.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3})}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.5.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{3}}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.3

Combina $3$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{3}}{4} + \frac{3}{4} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.4

Combina $\frac{3}{4}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.4.3

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{2}{4} x + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.4.4

Combina $\frac{2}{4}$ y $x$ .

$\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{2 x}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.4.5

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.4.5.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{2 (x)}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.4.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$ .

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Paso 2.5.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.5.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{1}{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.6.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{1}{3} + 0$

Paso 2.6.2

Suma $\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{1}{3}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{1}{3}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{1}{3}$