Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{- 12 x - 2}{12 x - 3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = - 12 x - 2$ y $g (x) = 12 x - 3$ .

$\frac{(12 x - 3) \frac{d}{d x} [- 12 x - 2] - (- 12 x - 2) \frac{d}{d x} [12 x - 3]}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 12 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(12 x - 3) (\frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- 12 x - 2) \frac{d}{d x} [12 x - 3]}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(12 x - 3) (- 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- 12 x - 2) \frac{d}{d x} [12 x - 3]}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(12 x - 3) (- 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- 12 x - 2) \frac{d}{d x} [12 x - 3]}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$\frac{(12 x - 3) (- 12 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- 12 x - 2) \frac{d}{d x} [12 x - 3]}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(12 x - 3) (- 12 + 0) - (- 12 x - 2) \frac{d}{d x} [12 x - 3]}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Suma $- 12$ y $0$ .

$\frac{(12 x - 3) \cdot - 12 - (- 12 x - 2) \frac{d}{d x} [12 x - 3]}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Mueve $- 12$ a la izquierda de $12 x - 3$ .

$\frac{- 12 \cdot (12 x - 3) - (- 12 x - 2) \frac{d}{d x} [12 x - 3]}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{- 12 (12 x - 3) - (- 12 x - 2) (\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.8

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 12 (12 x - 3) - (- 12 x - 2) (12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{- 12 (12 x - 3) - (- 12 x - 2) (12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.10

Multiplica $12$ por $1$ .

$\frac{- 12 (12 x - 3) - (- 12 x - 2) (12 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.11

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{- 12 (12 x - 3) - (- 12 x - 2) (12 + 0)}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.12

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.12.1

Suma $12$ y $0$ .

$\frac{- 12 (12 x - 3) - (- 12 x - 2) \cdot 12}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2.12.2

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$\frac{- 12 (12 x - 3) - 12 (- 12 x - 2)}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 12 (12 x) - 12 \cdot - 3 - 12 (- 12 x - 2)}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 12 (12 x) - 12 \cdot - 3 - 12 (- 12 x) - 12 \cdot - 2}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1.1

Multiplica $12$ por $- 12$ .

$\frac{- 144 x - 12 \cdot - 3 - 12 (- 12 x) - 12 \cdot - 2}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $- 12$ por $- 3$ .

$\frac{- 144 x + 36 - 12 (- 12 x) - 12 \cdot - 2}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.3

Multiplica $- 12$ por $- 12$ .

$\frac{- 144 x + 36 + 144 x - 12 \cdot - 2}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.4

Multiplica $- 12$ por $- 2$ .

$\frac{- 144 x + 36 + 144 x + 24}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Combina los términos opuestos en $- 144 x + 36 + 144 x + 24$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.1

Suma $- 144 x$ y $144 x$ .

$\frac{0 + 36 + 24}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2.2

Suma $0$ y $36$ .

$\frac{36 + 24}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.3.3

Suma $36$ y $24$ .

$\frac{60}{{(12 x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.1

Factoriza $3$ de $12 x - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.1.1

Factoriza $3$ de $12 x$ .

$\frac{60}{{(3 (4 x) - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{60}{{(3 (4 x) + 3 (- 1))}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.3

Factoriza $3$ de $3 (4 x) + 3 (- 1)$ .

$\frac{60}{{(3 (4 x - 1))}^{2}}$

Paso 1.3.4.2

Aplica la regla del producto a $3 (4 x - 1)$ .

$\frac{60}{3^{2} {(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{60}{9 {(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Cancela el factor común de $60$ y $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.1

Factoriza $3$ de $60$ .

$\frac{3 (20)}{9 {(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.2.1

Factoriza $3$ de $9 {(4 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{3 (20)}{3 (3 {(4 x - 1)}^{2})}$

Paso 1.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 20}{3 (3 {(4 x - 1)}^{2})}$

Paso 1.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{20}{3 {(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Como $\frac{20}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{20}{3 {(4 x - 1)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{2}}]$ .

$\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{2}}]$

Paso 2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(4 x - 1)}^{2}}$ como ${({(4 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [{({(4 x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(4 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{- 2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = 4 x - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x - 1$ .

$\frac{20}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$\frac{20}{3} (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x - 1$ .

$\frac{20}{3} (- 2 {(4 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Paso 2.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Combina $- 2$ y $\frac{20}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 20}{3} ({(4 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Paso 2.3.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Multiplica $- 2$ por $20$ .

$\frac{- 40}{3} ({(4 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Paso 2.3.2.2

Combina ${(4 x - 1)}^{- 3}$ y $\frac{- 40}{3}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{- 3} \cdot - 40}{3} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Paso 2.3.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.3.1

Mueve $- 40$ a la izquierda de ${(4 x - 1)}^{- 3}$ .

$\frac{- 40 \cdot {(4 x - 1)}^{- 3}}{3} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Paso 2.3.2.3.2

Mueve ${(4 x - 1)}^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 40}{3 {(4 x - 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Paso 2.3.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{40}{3 {(4 x - 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{40}{3 {(4 x - 1)}^{3}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.3.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{40}{3 {(4 x - 1)}^{3}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{40}{3 {(4 x - 1)}^{3}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.3.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$- \frac{40}{3 {(4 x - 1)}^{3}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{40}{3 {(4 x - 1)}^{3}} (4 + 0)$

Paso 2.3.8

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.8.1

Suma $4$ y $0$ .

$- \frac{40}{3 {(4 x - 1)}^{3}} \cdot 4$

Paso 2.3.8.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 \frac{40}{3 {(4 x - 1)}^{3}}$

Paso 2.3.8.3

Combina $- 4$ y $\frac{40}{3 {(4 x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 40}{3 {(4 x - 1)}^{3}}$

Paso 2.3.8.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.8.4.1

Multiplica $- 4$ por $40$ .

$\frac{- 160}{3 {(4 x - 1)}^{3}}$

Paso 2.3.8.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{160}{3 {(4 x - 1)}^{3}}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{160}{3 {(4 x - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{160}{3 {(4 x - 1)}^{3}}$