Cálculo Ejemplos

$g (x) = 8 x {(2 x - 5)}^{9}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x {(2 x - 5)}^{9}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x {(2 x - 5)}^{9}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x {(2 x - 5)}^{9}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(2 x - 5)}^{9}$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{9}] + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{9}$ y $g (x) = 2 x - 5$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - 5$ .

$8 (x (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$8 (x (9 u^{8} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 5$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (2 + 0)) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} \cdot 2) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.6.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$8 (x (18 {(2 x - 5)}^{8}) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 (x (18 {(2 x - 5)}^{8}) + {(2 x - 5)}^{9} \cdot 1)$

Paso 1.4.8

Multiplica ${(2 x - 5)}^{9}$ por $1$ .

$8 (x (18 {(2 x - 5)}^{8}) + {(2 x - 5)}^{9})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (x (18 {(2 x - 5)}^{8})) + 8 {(2 x - 5)}^{9}$

Paso 1.5.2

Multiplica $18$ por $8$ .

$144 (x ({(2 x - 5)}^{8})) + 8 {(2 x - 5)}^{9}$

Paso 1.5.3

Factoriza $8 {(2 x - 5)}^{8}$ de $144 x {(2 x - 5)}^{8} + 8 {(2 x - 5)}^{9}$ .

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Paso 1.5.3.1

Factoriza $8 {(2 x - 5)}^{8}$ de $144 x {(2 x - 5)}^{8}$ .

$8 {(2 x - 5)}^{8} (18 x) + 8 {(2 x - 5)}^{9}$

Paso 1.5.3.2

Factoriza $8 {(2 x - 5)}^{8}$ de $8 {(2 x - 5)}^{9}$ .

$8 {(2 x - 5)}^{8} (18 x) + 8 {(2 x - 5)}^{8} (2 x - 5)$

Paso 1.5.3.3

Factoriza $8 {(2 x - 5)}^{8}$ de $8 {(2 x - 5)}^{8} (18 x) + 8 {(2 x - 5)}^{8} (2 x - 5)$ .

$8 {(2 x - 5)}^{8} (18 x + 2 x - 5)$

Paso 1.5.4

Suma $18 x$ y $2 x$ .

$f' (x) = 8 {(2 x - 5)}^{8} (20 x - 5)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 {(2 x - 5)}^{8} (20 x - 5)$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8} (20 x - 5)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8} (20 x - 5)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(2 x - 5)}^{8}$ y $g (x) = 20 x - 5$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [20 x - 5] + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $20 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Paso 2.3.2

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Paso 2.3.4

Multiplica $20$ por $1$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (20 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Paso 2.3.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (20 + 0) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Paso 2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.6.1

Suma $20$ y $0$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} \cdot 20 + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Paso 2.3.6.2

Mueve $20$ a la izquierda de ${(2 x - 5)}^{8}$ .

$8 (20 \cdot {(2 x - 5)}^{8} + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{8}$ y $g (x) = 2 x - 5$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - 5$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + (20 x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + (20 x - 5) (8 u^{7} \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 5$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + (20 x - 5) (8 {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Mueve $8$ a la izquierda de $20 x - 5$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 \cdot (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Paso 2.5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Paso 2.5.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Paso 2.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Paso 2.5.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (2 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Paso 2.5.6

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (2 + 0))$

Paso 2.5.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.7.1

Suma $2$ y $0$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} \cdot 2)$

Paso 2.5.7.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 16 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + (16 (20 x) + 16 \cdot - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8}) + 8 ((16 (20 x) + 16 \cdot - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

Paso 2.6.3

Multiplica $20$ por $8$ .

$160 {(2 x - 5)}^{8} + 8 ((16 (20 x) + 16 \cdot - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

Paso 2.6.4

Multiplica $20$ por $16$ .

$160 {(2 x - 5)}^{8} + 8 ((320 x + 16 \cdot - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

Paso 2.6.5

Multiplica $16$ por $- 5$ .

$160 {(2 x - 5)}^{8} + 8 ((320 x - 80) {(2 x - 5)}^{7})$

Paso 2.6.6

Factoriza $8 {(2 x - 5)}^{7}$ de $160 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (320 x - 80) {(2 x - 5)}^{7}$ .

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Paso 2.6.6.1

Factoriza $8 {(2 x - 5)}^{7}$ de $160 {(2 x - 5)}^{8}$ .

$8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5)) + 8 (320 x - 80) {(2 x - 5)}^{7}$

Paso 2.6.6.2

Factoriza $8 {(2 x - 5)}^{7}$ de $8 (320 x - 80) {(2 x - 5)}^{7}$ .

$8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5)) + 8 {(2 x - 5)}^{7} (320 x - 80)$

Paso 2.6.6.3

Factoriza $8 {(2 x - 5)}^{7}$ de $8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5)) + 8 {(2 x - 5)}^{7} (320 x - 80)$ .

$f'' (x) = 8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5) + 320 x - 80)$

Paso 3

La segunda derivada de $g (x)$ con respecto a $x$ es $8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5) + 320 x - 80)$ .

$8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5) + 320 x - 80)$