Cálculo Ejemplos

$y (x) = (9 x^{2} - 7 x) (18 x - \frac{97}{x})$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 9 x^{2} - 7 x$ y $g (x) = 18 x - \frac{97}{x}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) \frac{d}{d x} [18 x - \frac{97}{x}] + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $18 x - \frac{97}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Paso 1.2.2

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18 x$ con respecto a $x$ es $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Paso 1.2.4

Multiplica $18$ por $1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Paso 1.2.5

Como $- 97$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{97}{x}$ con respecto a $x$ es $- 97 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Paso 1.2.6

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Paso 1.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 (- x^{- 2})) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Paso 1.2.8

Multiplica $- 1$ por $- 97$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Paso 1.2.9

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{2} - 7 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Paso 1.2.10

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Paso 1.2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Paso 1.2.12

Multiplica $2$ por $9$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Paso 1.2.13

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7 \cdot 1)$

Paso 1.2.15

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 \frac{1}{x^{2}}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

Paso 1.3.2

Combina $97$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + \frac{97}{x^{2}}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

Paso 1.3.3

Reordena los términos.

$(18 + \frac{97}{x^{2}}) (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.1

Expande $(18 + \frac{97}{x^{2}}) (9 x^{2} - 7 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$18 (9 x^{2} - 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$18 (9 x^{2}) + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$18 (9 x^{2}) + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.2.1

Multiplica $9$ por $18$ .

$162 x^{2} + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.2.2

Multiplica $- 7$ por $18$ .

$162 x^{2} - 126 x + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$162 x^{2} - 126 x + 9 \frac{97}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.2.4

Multiplica $9 \frac{97}{x^{2}}$ .

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Paso 1.3.4.2.4.1

Combina $9$ y $\frac{97}{x^{2}}$ .

$162 x^{2} - 126 x + \frac{9 \cdot 97}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.2.4.2

Multiplica $9$ por $97$ .

$162 x^{2} - 126 x + \frac{873}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.2.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.3.4.2.5.1

Cancela el factor común.

$162 x^{2} - 126 x + \frac{873}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.2.5.2

Reescribe la expresión.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.2.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - 7 \frac{97}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.2.7

Multiplica $- 7 \frac{97}{x^{2}}$ .

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Paso 1.3.4.2.7.1

Combina $- 7$ y $\frac{97}{x^{2}}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 7 \cdot 97}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.2.7.2

Multiplica $- 7$ por $97$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.2.8

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.4.2.8.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x \cdot x} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.2.8.2

Cancela el factor común.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x \cdot x} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.2.8.3

Reescribe la expresión.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x} + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.3

Expande $(18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x - \frac{97}{x}) - 7 (18 x - \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x - \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 x \cdot x + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.4.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.4.4.2.1

Mueve $x$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 (x \cdot x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.4.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 x^{2} + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.4.3

Multiplica $18$ por $18$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.4.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.4.4.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{97}{x}$ al numerador.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 x \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.4.4.2

Factoriza $x$ de $18 x$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + x \cdot 18 \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.4.4.3

Cancela el factor común.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + x \cdot 18 \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.4.4.4

Reescribe la expresión.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 \cdot - 97 - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.4.5

Multiplica $18$ por $- 97$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.4.6

Multiplica $18$ por $- 7$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x - 7 (- \frac{97}{x})$

Paso 1.3.4.4.7

Multiplica $- 7 (- \frac{97}{x})$ .

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Paso 1.3.4.4.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + 7 \frac{97}{x}$

Paso 1.3.4.4.7.2

Combina $7$ y $\frac{97}{x}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{7 \cdot 97}{x}$

Paso 1.3.4.4.7.3

Multiplica $7$ por $97$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{679}{x}$

Paso 1.3.5

Combina los términos opuestos en $162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{679}{x}$ .

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Paso 1.3.5.1

Suma $- \frac{679}{x}$ y $\frac{679}{x}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + 0$

Paso 1.3.5.2

Suma $162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x$ y $0$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x$

Paso 1.3.6

Suma $162 x^{2}$ y $324 x^{2}$ .

$486 x^{2} - 126 x + 873 - 1746 - 126 x$

Paso 1.3.7

Resta $126 x$ de $- 126 x$ .

$486 x^{2} - 252 x + 873 - 1746$

Paso 1.3.8

Resta $1746$ de $873$ .

$f' (x) = 486 x^{2} - 252 x - 873$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $486 x^{2} - 252 x - 873$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [486 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$ .

$\frac{d}{d x} [486 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [486 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $486$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $486 x^{2}$ con respecto a $x$ es $486 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$486 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$486 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $486$ .

$972 x + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 252 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 252$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 252 x$ con respecto a $x$ es $- 252 \frac{d}{d x} [x]$ .

$972 x - 252 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$972 x - 252 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 873]$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 252$ por $1$ .

$972 x - 252 + \frac{d}{d x} [- 873]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- 873$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 873$ con respecto a $x$ es $0$ .

$972 x - 252 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $972 x - 252$ y $0$ .

$f'' (x) = 972 x - 252$

Paso 3

La segunda derivada de $y (x)$ con respecto a $x$ es $972 x - 252$ .

$972 x - 252$