Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} e^{- x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} \cdot e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Combina $e^{- x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{- x}}{2} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- x}}{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{2} (- 1 \cdot 1)$

Paso 1.3.4

Combina fracciones.

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Paso 1.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{e^{- x}}{2} \cdot - 1$

Paso 1.3.4.2

Combina $\frac{e^{- x}}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{e^{- x} \cdot - 1}{2}$

Paso 1.3.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.4.3.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$\frac{- 1 \cdot e^{- x}}{2}$

Paso 1.3.4.3.2

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{- e^{- x}}{2}$

Paso 1.3.4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{e^{- x}}{2}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{e^{- x}}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Combina $e^{- x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- x}}{2} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

Multiplica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{e^{- x}}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $\frac{e^{- x}}{2}$ por $1$ .

$\frac{e^{- x}}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{2} \cdot 1$

Paso 2.3.5

Multiplica $\frac{e^{- x}}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{- x}}{2}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{e^{- x}}{2}$ .

$\frac{e^{- x}}{2}$