Cálculo Ejemplos

$f (y) = (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (y + 3 y^{3})$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = \frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}$ y $g (y) = y + 3 y^{3}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) \frac{d}{d y} [y + 3 y^{3}] + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 3 y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{3}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{3}]) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + \frac{d}{d y} [3 y^{3}]) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

Paso 1.2.3

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 y^{3}$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 3 \frac{d}{d y} [y^{3}]) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 3 (3 y^{2})) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

Paso 1.2.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

Paso 1.2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

Paso 1.2.7

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.2.7.1

Reescribe $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

Paso 1.2.7.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.7.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [y^{2 \cdot - 1}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

Paso 1.2.7.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [y^{- 2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

Paso 1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

Paso 1.2.9

Como $- 5$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- \frac{5}{y^{4}}$ con respecto a $y$ es $- 5 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}])$

Paso 1.2.10

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.2.10.1

Reescribe $\frac{1}{y^{4}}$ como ${(y^{4})}^{- 1}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}])$

Paso 1.2.10.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.10.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [y^{4 \cdot - 1}])$

Paso 1.2.10.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [y^{- 4}])$

Paso 1.2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 (- 4 y^{- 5}))$

Paso 1.2.12

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} + 20 y^{- 5})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 \frac{1}{y^{3}} + 20 y^{- 5})$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 \frac{1}{y^{3}} + 20 \frac{1}{y^{5}})$

Paso 1.3.3

Combina los términos.

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Paso 1.3.3.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{y^{3}}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{- 2}{y^{3}} + 20 \frac{1}{y^{5}})$

Paso 1.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- \frac{2}{y^{3}} + 20 \frac{1}{y^{5}})$

Paso 1.3.3.3

Combina $20$ y $\frac{1}{y^{5}}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}})$

Paso 1.3.4

Reordena los términos.

$(1 + 9 y^{2}) (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.5.1

Expande $(1 + 9 y^{2}) (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \frac{1}{y^{2}} + 1 (- \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \frac{1}{y^{2}} + 1 (- \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.2.1.1

Multiplica $\frac{1}{y^{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} + 1 (- \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5.2.1.2

Multiplica $- \frac{5}{y^{4}}$ por $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 y^{2} \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5.2.1.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.2.1.3.1

Factoriza $y^{2}$ de $9 y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + y^{2} \cdot 9 \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + y^{2} \cdot 9 \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5.2.1.4

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{y^{4}}$ al numerador.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + 9 y^{2} \frac{- 5}{y^{4}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5.2.1.4.2

Factoriza $y^{2}$ de $9 y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + y^{2} \cdot 9 \frac{- 5}{y^{4}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5.2.1.4.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + y^{2} \cdot 9 \frac{- 5}{y^{2} y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5.2.1.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + y^{2} \cdot 9 \frac{- 5}{y^{2} y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5.2.1.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + 9 \frac{- 5}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5.2.1.5

Combina $9$ y $\frac{- 5}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{9 \cdot - 5}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5.2.1.6

Multiplica $9$ por $- 5$ .

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 45}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{45}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 45}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5.2.3

Resta $45$ de $1$ .

$\frac{- 44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5.4

Expande $(- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.5.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{3}} (y + 3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{3}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} (y + 3 y^{3})$

Paso 1.3.5.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{3}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Paso 1.3.5.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.5.5.1.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.5.5.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{y^{3}}$ al numerador.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y^{3}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Paso 1.3.5.5.1.1.2

Factoriza $y$ de $y^{3}$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y \cdot y^{2}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Paso 1.3.5.5.1.1.3

Cancela el factor común.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y \cdot y^{2}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Paso 1.3.5.5.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y^{2}} - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Paso 1.3.5.5.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Paso 1.3.5.5.1.3

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

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Paso 1.3.5.5.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{y^{3}}$ al numerador.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} + \frac{- 2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Paso 1.3.5.5.1.3.2

Factoriza $y^{3}$ de $3 y^{3}$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} + \frac{- 2}{y^{3}} (y^{3} \cdot 3) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Paso 1.3.5.5.1.3.3

Cancela el factor común.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} + \frac{- 2}{y^{3}} (y^{3} \cdot 3) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Paso 1.3.5.5.1.3.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 2 \cdot 3 + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Paso 1.3.5.5.1.4

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Paso 1.3.5.5.1.5

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.5.1.5.1

Factoriza $y$ de $y^{5}$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y \cdot y^{4}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Paso 1.3.5.5.1.5.2

Cancela el factor común.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y \cdot y^{4}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Paso 1.3.5.5.1.5.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Paso 1.3.5.5.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + 3 \frac{20}{y^{5}} y^{3}$

Paso 1.3.5.5.1.7

Multiplica $3 \frac{20}{y^{5}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.5.1.7.1

Combina $3$ y $\frac{20}{y^{5}}$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{3 \cdot 20}{y^{5}} y^{3}$

Paso 1.3.5.5.1.7.2

Multiplica $3$ por $20$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{5}} y^{3}$

Paso 1.3.5.5.1.8

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.5.1.8.1

Factoriza $y^{3}$ de $y^{5}$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{3} y^{2}} y^{3}$

Paso 1.3.5.5.1.8.2

Cancela el factor común.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{3} y^{2}} y^{3}$

Paso 1.3.5.5.1.8.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{2}}$

Paso 1.3.5.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2 + 60}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}}$

Paso 1.3.5.5.3

Suma $- 2$ y $60$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{58}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}}$

Paso 1.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 - 6 + \frac{- 44 + 58}{y^{2}} + \frac{- 5 + 20}{y^{4}}$

Paso 1.3.7

Suma $- 44$ y $58$ .

$9 - 6 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{- 5 + 20}{y^{4}}$

Paso 1.3.8

Suma $- 5$ y $20$ .

$9 - 6 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{15}{y^{4}}$

Paso 1.3.9

Resta $6$ de $9$ .

$f' (y) = 3 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{15}{y^{4}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{15}{y^{4}}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Paso 2.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $14$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{14}{y^{2}}$ con respecto a $y$ es $14 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$0 + 14 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$0 + 14 \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{- 1}$ y $g (y) = y^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y^{2}$ .

$0 + 14 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$0 + 14 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y^{2}$ .

$0 + 14 (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 14 (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Paso 2.2.5

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 14 (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Paso 2.2.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$0 + 14 (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Paso 2.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 + 14 (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Paso 2.2.7

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$0 + 14 (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Paso 2.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0 + 14 (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Paso 2.2.9

Resta $4$ de $1$ .

$0 + 14 (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Paso 2.2.10

Multiplica $- 2$ por $14$ .

$0 - 28 y^{- 3} + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $15$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{15}{y^{4}}$ con respecto a $y$ es $15 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{y^{4}}$ como ${(y^{4})}^{- 1}$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{- 1}$ y $g (y) = y^{4}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y^{4}$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{4}])$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}])$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y^{4}$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- {(y^{4})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3}))$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(y^{4})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- y^{4 \cdot - 2} (4 y^{3}))$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- y^{- 8} (4 y^{3}))$

Paso 2.3.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 y^{- 8} y^{3})$

Paso 2.3.7

Multiplica $y^{- 8}$ por $y^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.7.1

Mueve $y^{3}$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 (y^{3} y^{- 8}))$

Paso 2.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 y^{3 - 8})$

Paso 2.3.7.3

Resta $8$ de $3$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 y^{- 5})$

Paso 2.3.8

Multiplica $- 4$ por $15$ .

$0 - 28 y^{- 3} - 60 y^{- 5}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 28 \frac{1}{y^{3}} - 60 y^{- 5}$

Paso 2.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 28 \frac{1}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

Paso 2.4.3

Combina los términos.

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Paso 2.4.3.1

Combina $- 28$ y $\frac{1}{y^{3}}$ .

$0 + \frac{- 28}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

Paso 2.4.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - \frac{28}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

Paso 2.4.3.3

Resta $\frac{28}{y^{3}}$ de $0$ .

$- \frac{28}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

Paso 2.4.3.4

Combina $- 60$ y $\frac{1}{y^{5}}$ .

$- \frac{28}{y^{3}} + \frac{- 60}{y^{5}}$

Paso 2.4.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (y) = - \frac{28}{y^{3}} - \frac{60}{y^{5}}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (y)$ con respecto a $y$ es $- \frac{28}{y^{3}} - \frac{60}{y^{5}}$ .

$- \frac{28}{y^{3}} - \frac{60}{y^{5}}$