Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 \sqrt{1 + x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x^{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 1.8

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 1.9

Mueve ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Paso 1.10

Combina $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $4$ .

$\frac{4}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 1.11

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 1.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.12.1

Factoriza $2$ de $2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 1.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 1.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 1.13

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.14

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.15

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Paso 1.17

Combina fracciones.

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Paso 1.17.1

Combina $2$ y $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 1.17.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 1.17.3

Combina $\frac{4}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{4 x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.17.4

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Paso 2.4

Simplifica.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Paso 2.5.2

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 2.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 2.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 2.11

Combina fracciones.

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Paso 2.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 2.11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 2.11.3

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Paso 2.11.4

Combina $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{x^{2} + 1}$

Paso 2.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Paso 2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Paso 2.14

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} + 1}$

Paso 2.15

Combina fracciones.

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Paso 2.15.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} + 1}$

Paso 2.15.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Paso 2.15.3

Combina $- 2$ y $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Paso 2.15.4

Combina $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 2.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 2.17

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 2.18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 2.19

Suma $1$ y $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 2.20

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 2.21

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.21.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 1}$

Paso 2.21.2

Cancela el factor común.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 2.21.3

Reescribe la expresión.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 2.22

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 2.23

Para escribir ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 2.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 2.25

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.25.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 2.25.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 2.25.3

Suma $1$ y $1$ .

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 2.25.4

Divide $2$ por $2$ .

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{1} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 2.26

Simplifica ${(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$4 \frac{\frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 2.27

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$4 \frac{\frac{0 + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 2.28

Suma $0$ y $1$ .

$4 \frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Paso 2.29

Reescribe $\frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ como un producto.

$4 (\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1})$

Paso 2.30

Multiplica $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Paso 2.31

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 1$ sumando los exponentes.

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Paso 2.31.1

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.31.1.1

Eleva $x^{2} + 1$ a la potencia de $1$ .

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Paso 2.31.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 2.31.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 2.31.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 2.31.4

Suma $1$ y $2$ .

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.32

Combina $4$ y $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.1.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 3.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ como ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Paso 3.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Paso 3.1.2.2.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 3.1.2.2.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Paso 3.1.2.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3}{2}}]$

Paso 3.1.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{3}{2}$ .

$4 (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3.6.2

Resta $2$ de $- 3$ .

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3.8

Combina ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ y $\frac{3}{2}$ .

$4 (- \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3.9

Simplifica la expresión.

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Paso 3.9.1

Mueve $3$ a la izquierda de ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$4 (- \frac{3 \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3.9.2

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3.9.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 (\frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3.10

Combina $\frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ y $- 4$ .

$\frac{3 \cdot - 4}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.11

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$\frac{- 12}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.12

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$\frac{2 \cdot - 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.13.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 6}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.15

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.17

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x + 0)$

Paso 3.18

Combina fracciones.

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Paso 3.18.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x)$

Paso 3.18.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

Paso 3.18.3

Combina $- 2$ y $\frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

Paso 3.18.4

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$\frac{- 12}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

Paso 3.18.5

Combina $\frac{- 12}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{- 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.18.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 4

La tercera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{12 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$