Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x}{5 x^{2} + 15}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{5 x^{2} + 15}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 x^{2} + 15}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 x^{2} + 15}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 5 x^{2} + 15$ .

$2 \frac{(5 x^{2} + 15) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 15]}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{(5 x^{2} + 15) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 15]}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Multiplica $5 x^{2} + 15$ por $1$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 15]}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} + 15$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15])}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15])}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [15])}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.3.6

Multiplica $2$ por $5$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (10 x + \frac{d}{d x} [15])}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.3.7

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (10 x + 0)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.8.1

Suma $10 x$ y $0$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (10 x)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.3.8.2

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - 10 x \cdot x}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - 10 (x^{1} x)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - 10 (x^{1} x^{1})}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - 10 x^{1 + 1}}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.7

Suma $1$ y $1$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - 10 x^{2}}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.8

Resta $10 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$2 \frac{- 5 x^{2} + 15}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.9

Combina $2$ y $\frac{- 5 x^{2} + 15}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- 5 x^{2} + 15)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.10

Simplifica.

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Paso 1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- 5 x^{2}) + 2 \cdot 15}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.10.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.10.2.1

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 2 \cdot 15}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.10.2.2

Multiplica $2$ por $15$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 30}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.10.3

Factoriza $10$ de $- 10 x^{2} + 30$ .

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Paso 1.10.3.1

Factoriza $10$ de $- 10 x^{2}$ .

$\frac{10 (- x^{2}) + 30}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.10.3.2

Factoriza $10$ de $30$ .

$\frac{10 (- x^{2}) + 10 (3)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.10.3.3

Factoriza $10$ de $10 (- x^{2}) + 10 (3)$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Paso 1.10.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.10.4.1

Factoriza $5$ de $5 x^{2} + 15$ .

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Paso 1.10.4.1.1

Factoriza $5$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{{(5 (x^{2}) + 15)}^{2}}$

Paso 1.10.4.1.2

Factoriza $5$ de $15$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{{(5 x^{2} + 5 \cdot 3)}^{2}}$

Paso 1.10.4.1.3

Factoriza $5$ de $5 x^{2} + 5 \cdot 3$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{{(5 (x^{2} + 3))}^{2}}$

Paso 1.10.4.2

Aplica la regla del producto a $5 (x^{2} + 3)$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{5^{2} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.10.4.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{25 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.10.5

Cancela el factor común de $10$ y $25$ .

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Paso 1.10.5.1

Factoriza $5$ de $10 (- x^{2} + 3)$ .

$\frac{5 (2 (- x^{2} + 3))}{25 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.10.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.10.5.2.1

Factoriza $5$ de $25 {(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$\frac{5 (2 (- x^{2} + 3))}{5 (5 {(x^{2} + 3)}^{2})}$

Paso 1.10.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (2 (- x^{2} + 3))}{5 (5 {(x^{2} + 3)}^{2})}$

Paso 1.10.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (- x^{2} + 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.10.6

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{2 (- (x^{2}) + 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.10.7

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 (- (x^{2}) - 1 (- 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.10.8

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 (- (x^{2} - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.10.9

Reescribe $- (x^{2} - 3)$ como $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (x^{2} - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.10.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{2 (x^{2} - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $- \frac{2}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2 (x^{2} - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

Paso 2.2

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.3.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.3.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 \cdot {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 3$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 3$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.5.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.5.5

Combina fracciones.

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Paso 2.5.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.5.5.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.5.2.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 3$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) (2 \cdot (x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.5.5.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.5.5.3

Multiplica $\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$ por $\frac{2}{5}$ .

$- \frac{(2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x)) \cdot 2}{{(x^{2} + 3)}^{4} \cdot 5}$

Paso 2.5.5.4

Reordena.

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Paso 2.5.5.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x)$ .

$- \frac{2 \cdot (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x))}{{(x^{2} + 3)}^{4} \cdot 5}$

Paso 2.5.5.4.2

Mueve $5$ a la izquierda de ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$- \frac{2 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x))}{5 \cdot {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) ((x^{2} + 3) x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.4.1.1

Reescribe ${(x^{2} + 3)}^{2}$ como $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ .

$- \frac{2 (2 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3)) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.2

Expande $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.6.4.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (2 (x^{2} (x^{2} + 3) + 3 (x^{2} + 3)) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 (x^{2} + 3)) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.6.4.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.4.1.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.4.1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 (2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.3.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$- \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$- \frac{2 (2 (x^{4} + 3 \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{2 (2 (x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 9) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.3.2

Suma $3 x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$- \frac{2 (2 (x^{4} + 6 x^{2} + 9) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 ((2 x^{4} + 2 (6 x^{2}) + 2 \cdot 9) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.4.1.5.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$- \frac{2 ((2 x^{4} + 12 x^{2} + 2 \cdot 9) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.5.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$- \frac{2 ((2 x^{4} + 12 x^{2} + 18) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (2 x^{4} x + 12 x^{2} x + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.4.1.7.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.4.1.7.1.1

Mueve $x$ .

$- \frac{2 (2 (x \cdot x^{4}) + 12 x^{2} x + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.7.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.4.1.7.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 (2 (x^{1} x^{4}) + 12 x^{2} x + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.7.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 (2 x^{1 + 4} + 12 x^{2} x + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.7.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$- \frac{2 (2 x^{5} + 12 x^{2} x + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.7.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.4.1.7.2.1

Mueve $x$ .

$- \frac{2 (2 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.7.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.4.1.7.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 (2 x^{5} + 12 (x^{1} x^{2}) + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.7.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 (2 x^{5} + 12 x^{1 + 2} + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.7.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{2 (2 x^{5} + 12 x^{3} + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (2 x^{5}) + 2 (12 x^{3}) + 2 (18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.4.1.9.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 2 (12 x^{3}) + 2 (18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.9.2

Multiplica $12$ por $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 2 (18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.9.3

Multiplica $18$ por $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.10

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.11

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.4.1.11.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.4.1.11.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{2} x^{1} + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.11.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{2 + 1} + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.11.2

Suma $2$ y $1$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{3} + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.12

Expande $(- 4 x^{2} + 12) (x^{3} + 3 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.4.1.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{2} (x^{3} + 3 x) + 12 (x^{3} + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (3 x) + 12 (x^{3} + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.13

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.4.1.13.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.4.1.13.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.4.1.13.1.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.13.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.13.1.1.3

Suma $3$ y $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.13.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 \cdot 3 x^{2} x + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.13.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.4.1.13.1.3.1

Mueve $x$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 \cdot 3 (x \cdot x^{2}) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.13.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.4.1.13.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 \cdot 3 (x^{1} x^{2}) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.13.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 \cdot 3 x^{1 + 2} + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.13.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 \cdot 3 x^{3} + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.13.1.4

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.13.1.5

Multiplica $3$ por $12$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} + 36 x)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.13.2

Suma $- 12 x^{3}$ y $12 x^{3}$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} + 0 + 36 x)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.13.3

Suma $- 4 x^{5}$ y $0$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} + 36 x)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.14

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5}) + 2 (36 x)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.15

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x - 8 x^{5} + 2 (36 x)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.16

Multiplica $36$ por $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x - 8 x^{5} + 72 x}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.2

Resta $8 x^{5}$ de $4 x^{5}$ .

$- \frac{- 4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 72 x}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.4.3

Suma $36 x$ y $72 x$ .

$- \frac{- 4 x^{5} + 24 x^{3} + 108 x}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.5.1

Factoriza $4 x$ de $- 4 x^{5} + 24 x^{3} + 108 x$ .

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Paso 2.6.5.1.1

Factoriza $4 x$ de $- 4 x^{5}$ .

$- \frac{4 x (- x^{4}) + 24 x^{3} + 108 x}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.5.1.2

Factoriza $4 x$ de $24 x^{3}$ .

$- \frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (6 x^{2}) + 108 x}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.5.1.3

Factoriza $4 x$ de $108 x$ .

$- \frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (6 x^{2}) + 4 x (27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.5.1.4

Factoriza $4 x$ de $4 x (- x^{4}) + 4 x (6 x^{2})$ .

$- \frac{4 x (- x^{4} + 6 x^{2}) + 4 x (27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.5.1.5

Factoriza $4 x$ de $4 x (- x^{4} + 6 x^{2}) + 4 x (27)$ .

$- \frac{4 x (- x^{4} + 6 x^{2} + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.5.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{4 x (- {(x^{2})}^{2} + 6 x^{2} + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.5.3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- \frac{4 x (- u^{2} + 6 u + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.5.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.6.5.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 27 = - 27$ y cuya suma es $b = 6$ .

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Paso 2.6.5.4.1.1

Factoriza $6$ de $6 u$ .

$- \frac{4 x (- u^{2} + 6 (u) + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.5.4.1.2

Reescribe $6$ como $- 3$ más $9$

$- \frac{4 x (- u^{2} + (- 3 + 9) u + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.5.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{4 x (- u^{2} - 3 u + 9 u + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.5.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.6.5.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- \frac{4 x ((- u^{2} - 3 u) + 9 u + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.5.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- \frac{4 x (u (- u - 3) - 9 (- u - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.5.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u - 3$ .

$- \frac{4 x ((- u - 3) (u - 9))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.5.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- \frac{4 x ((- x^{2} - 3) (x^{2} - 9))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.5.6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{4 x ((- x^{2} - 3) (x^{2} - 3^{2}))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.5.7

Factoriza.

$- \frac{4 x (- x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.6

Cancela el factor común de $- x^{2} - 3$ y ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

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Paso 2.6.6.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- \frac{4 x (- (x^{2}) - 3) (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.6.2

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$- \frac{4 x (- (x^{2}) - 1 (3)) (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.6.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (3)$ .

$- \frac{4 x (- (x^{2} + 3)) (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.6.4

Reescribe $- (x^{2} + 3)$ como $- 1 (x^{2} + 3)$ .

$- \frac{4 x (- 1 (x^{2} + 3)) (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.6.5

Factoriza $x^{2} + 3$ de $4 x (- 1 (x^{2} + 3)) (x + 3) (x - 3)$ .

$- \frac{(x^{2} + 3) ((4 x \cdot (- 1) (x + 3)) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.6.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.6.6.1

Factoriza $x^{2} + 3$ de $5 {(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$- \frac{(x^{2} + 3) ((4 x \cdot (- 1) (x + 3)) (x - 3))}{(x^{2} + 3) (5 {(x^{2} + 3)}^{3})}$

Paso 2.6.6.6.2

Cancela el factor común.

$- \frac{(x^{2} + 3) ((4 x \cdot (- 1) (x + 3)) (x - 3))}{(x^{2} + 3) (5 {(x^{2} + 3)}^{3})}$

Paso 2.6.6.6.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{(4 x \cdot (- 1) (x + 3)) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 2.6.7

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- \frac{- 4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 2.6.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{(4 x (x + 3)) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 2.6.9

Multiplica $- - \frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

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Paso 2.6.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 2.6.9.2

Multiplica $\frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $\frac{4}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{(x (x + 3)) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{(x (x + 3)) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}]$

Paso 3.2

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x (x + 3) (x - 3)] - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{({(x^{2} + 3)}^{3})}^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 3)}^{3})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x (x + 3) (x - 3)] - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{3 \cdot 2}}$

Paso 3.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x (x + 3) (x - 3)] - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x (x + 3)$ y $g (x) = x - 3$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x + 3)]) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x + 3)]) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x + 3)]) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.5.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x + 3)]) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x + 3)]) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.5.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x + 3)]) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + 3$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (x \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.7

Diferencia.

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Paso 3.7.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (x (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.7.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (x (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.7.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (x \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.7.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (x + (x + 3) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.7.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (x + (x + 3) \cdot 1)) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.7.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.7.6.1

Multiplica $x + 3$ por $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (x + x + 3)) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.7.6.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Paso 3.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 3$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - x (x + 3) (x - 3) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - x (x + 3) (x - 3) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.8.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 3$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - x (x + 3) (x - 3) (3 {(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.9

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.9.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 3 x (x + 3) (x - 3) ({(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.9.2

Factoriza ${(x^{2} + 3)}^{2}$ de ${(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 3 x (x + 3) (x - 3) ({(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

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Paso 3.9.2.1

Factoriza ${(x^{2} + 3)}^{2}$ de ${(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3))$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3))) - 3 x (x + 3) (x - 3) ({(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.9.2.2

Factoriza ${(x^{2} + 3)}^{2}$ de $- 3 x (x + 3) (x - 3) ({(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3))) + {(x^{2} + 3)}^{2} (- 3 x (x + 3) (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.9.2.3

Factoriza ${(x^{2} + 3)}^{2}$ de ${(x^{2} + 3)}^{2} ((x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3))) + {(x^{2} + 3)}^{2} (- 3 x (x + 3) (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 3 x (x + 3) (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Paso 3.10

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.10.1

Factoriza ${(x^{2} + 3)}^{2}$ de ${(x^{2} + 3)}^{6}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 3 x (x + 3) (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.10.2

Cancela el factor común.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 3 x (x + 3) (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.10.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 3 x (x + 3) (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.11

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 3 x (x + 3) (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 3 x (x + 3) (x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.13

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 3 x (x + 3) (x - 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.14

Simplifica la expresión.

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Paso 3.14.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 3 x (x + 3) (x - 3) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.14.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 6 x (x + 3) (x - 3) x}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 6 (x^{1} x) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 6 (x^{1} x^{1}) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 6 x^{1 + 1} (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.18

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 6 x^{2} (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.19

Multiplica $\frac{4}{5}$ por $\frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 6 x^{2} (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 6 x^{2} (x + 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20

Simplifica.

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Paso 3.20.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x \cdot x + x \cdot 3 + (x - 3) (2 x + 3)) - 6 x^{2} (x + 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x \cdot x + x \cdot 3 + (x - 3) (2 x + 3)) + (- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x \cdot x + x \cdot 3 + (x - 3) (2 x + 3))) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.20.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.20.4.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.20.4.1.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + x \cdot 3 + (x - 3) (2 x + 3))) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 \cdot x + (x - 3) (2 x + 3))) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.1.3

Expande $(x - 3) (2 x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.20.4.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + x (2 x + 3) - 3 (2 x + 3))) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + x (2 x) + x \cdot 3 - 3 (2 x + 3))) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + x (2 x) + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.20.4.1.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.20.4.1.1.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + 2 x \cdot x + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.1.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.20.4.1.1.4.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + 2 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.1.4.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + 2 x^{2} + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.1.4.1.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + 2 x^{2} + 3 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot 3)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.1.4.1.4

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + 2 x^{2} + 3 x - 6 x - 3 \cdot 3)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.1.4.1.5

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + 2 x^{2} + 3 x - 6 x - 9)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.1.4.2

Resta $6 x$ de $3 x$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + 2 x^{2} - 3 x - 9)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} + 3 x + 2 x^{2} - 3 x - 9$ .

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Paso 3.20.4.1.2.1

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 2 x^{2} + 0 - 9)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.2.2

Suma $x^{2} + 2 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 2 x^{2} - 9)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.3

Suma $x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 9)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.4

Expande $(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.20.4.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (x^{2} (3 x^{2} - 9) + 3 (3 x^{2} - 9)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 9 + 3 (3 x^{2} - 9)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 9 + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 9) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.20.4.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.20.4.1.5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 (3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 9) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.5.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.20.4.1.5.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 9 + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 9) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.5.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 (3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 9 + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 9) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.5.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{4 (3 x^{4} + x^{2} \cdot - 9 + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 9) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.5.1.3

Mueve $- 9$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 x^{4} - 9 \cdot x^{2} + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 9) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.5.1.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{4 (3 x^{4} - 9 x^{2} + 9 x^{2} + 3 \cdot - 9) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.5.1.5

Multiplica $3$ por $- 9$ .

$\frac{4 (3 x^{4} - 9 x^{2} + 9 x^{2} - 27) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.5.2

Suma $- 9 x^{2}$ y $9 x^{2}$ .

$\frac{4 (3 x^{4} + 0 - 27) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.5.3

Suma $3 x^{4}$ y $0$ .

$\frac{4 (3 x^{4} - 27) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (3 x^{4}) + 4 \cdot - 27 + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.7

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{12 x^{4} + 4 \cdot - 27 + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.8

Multiplica $4$ por $- 27$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.9

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.20.4.1.9.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.20.4.1.9.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 ((- 6 (x \cdot x^{2}) - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.9.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.20.4.1.9.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 ((- 6 (x^{1} x^{2}) - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.9.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 ((- 6 x^{1 + 2} - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.9.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 ((- 6 x^{3} - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.9.2

Multiplica $3$ por $- 6$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 ((- 6 x^{3} - 18 x^{2}) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.10

Expande $(- 6 x^{3} - 18 x^{2}) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.20.4.1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{3} (x - 3) - 18 x^{2} (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{3} x - 6 x^{3} \cdot - 3 - 18 x^{2} (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{3} x - 6 x^{3} \cdot - 3 - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.11

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.20.4.1.11.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.20.4.1.11.1.1

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.20.4.1.11.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 (x \cdot x^{3}) - 6 x^{3} \cdot - 3 - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.11.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.20.4.1.11.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 (x^{1} x^{3}) - 6 x^{3} \cdot - 3 - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.11.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{1 + 3} - 6 x^{3} \cdot - 3 - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.11.1.1.3

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{4} - 6 x^{3} \cdot - 3 - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.11.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 6$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{4} + 18 x^{3} - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.11.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.20.4.1.11.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{4} + 18 x^{3} - 18 (x \cdot x^{2}) - 18 x^{2} \cdot - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.11.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.20.4.1.11.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{4} + 18 x^{3} - 18 (x^{1} x^{2}) - 18 x^{2} \cdot - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.11.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{4} + 18 x^{3} - 18 x^{1 + 2} - 18 x^{2} \cdot - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.11.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{4} + 18 x^{3} - 18 x^{3} - 18 x^{2} \cdot - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.11.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 18$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{4} + 18 x^{3} - 18 x^{3} + 54 x^{2})}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.11.2

Resta $18 x^{3}$ de $18 x^{3}$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{4} + 0 + 54 x^{2})}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.11.3

Suma $- 6 x^{4}$ y $0$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{4} + 54 x^{2})}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.12

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{4}) + 4 (54 x^{2})}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.13

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 - 24 x^{4} + 4 (54 x^{2})}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.1.14

Multiplica $54$ por $4$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 - 24 x^{4} + 216 x^{2}}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.4.2

Resta $24 x^{4}$ de $12 x^{4}$ .

$\frac{- 12 x^{4} - 108 + 216 x^{2}}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.5

Reordena los términos.

$\frac{- 12 x^{4} + 216 x^{2} - 108}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.6

Factoriza $12$ de $- 12 x^{4} + 216 x^{2} - 108$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.20.6.1

Factoriza $12$ de $- 12 x^{4}$ .

$\frac{12 (- x^{4}) + 216 x^{2} - 108}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.6.2

Factoriza $12$ de $216 x^{2}$ .

$\frac{12 (- x^{4}) + 12 (18 x^{2}) - 108}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.6.3

Factoriza $12$ de $- 108$ .

$\frac{12 (- x^{4}) + 12 (18 x^{2}) + 12 (- 9)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.6.4

Factoriza $12$ de $12 (- x^{4}) + 12 (18 x^{2})$ .

$\frac{12 (- x^{4} + 18 x^{2}) + 12 (- 9)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.6.5

Factoriza $12$ de $12 (- x^{4} + 18 x^{2}) + 12 (- 9)$ .

$\frac{12 (- x^{4} + 18 x^{2} - 9)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.7

Factoriza $- 1$ de $- x^{4}$ .

$\frac{12 (- (x^{4}) + 18 x^{2} - 9)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.8

Factoriza $- 1$ de $18 x^{2}$ .

$\frac{12 (- (x^{4}) - (- 18 x^{2}) - 9)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.9

Factoriza $- 1$ de $- (x^{4}) - (- 18 x^{2})$ .

$\frac{12 (- (x^{4} - 18 x^{2}) - 9)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.10

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$\frac{12 (- (x^{4} - 18 x^{2}) - 1 (9))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.11

Factoriza $- 1$ de $- (x^{4} - 18 x^{2}) - 1 (9)$ .

$\frac{12 (- (x^{4} - 18 x^{2} + 9))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.12

Reescribe $- (x^{4} - 18 x^{2} + 9)$ como $- 1 (x^{4} - 18 x^{2} + 9)$ .

$\frac{12 (- 1 (x^{4} - 18 x^{2} + 9))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 3.20.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = - \frac{12 (x^{4} - 18 x^{2} + 9)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 4

La tercera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{12 (x^{4} - 18 x^{2} + 9)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$ .

$- \frac{12 (x^{4} - 18 x^{2} + 9)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$