Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 \arctan (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \arctan (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$3 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 1.3

Combina fracciones.

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Paso 1.3.1

Combina $3$ y $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{3}{1 + x^{2}}$

Paso 1.3.2

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{x^{2} + 1}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$

Paso 2.1.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$3 (- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 ({(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 3 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 3 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 3 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- 3 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$- 6 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Combina $- 6$ y $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 6}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Paso 2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Paso 2.4.2.3

Combina $x$ y $\frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 6}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.4.2.4

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{6 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{6 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.3.3

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{2}$ por $1$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.5.2

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- 6 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $x^{2} + 1$ de $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$- 6 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.5.2.3

Factoriza $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$- 6 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$- 6 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.6.2

Cancela el factor común.

$- 6 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.6.3

Reescribe la expresión.

$- 6 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 6 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 6 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 6 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.10

Simplifica la expresión.

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Paso 3.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- 6 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.10.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 6 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 6 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 6 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 6 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.14

Suma $1$ y $1$ .

$- 6 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.15

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 6 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.16

Combina $- 6$ y $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 6 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.18

Simplifica.

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Paso 3.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.18.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.18.2.1

Multiplica $- 3$ por $6$ .

$- \frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.18.2.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$- \frac{- 18 x^{2} + 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.18.3

Factoriza $6$ de $- 18 x^{2} + 6$ .

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Paso 3.18.3.1

Factoriza $6$ de $- 18 x^{2}$ .

$- \frac{6 (- 3 x^{2}) + 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.18.3.2

Factoriza $6$ de $6$ .

$- \frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.18.3.3

Factoriza $6$ de $6 (- 3 x^{2}) + 6 (1)$ .

$- \frac{6 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.18.4

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{6 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.18.5

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{6 (- (3 x^{2}) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.18.6

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{6 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.18.7

Reescribe $- (3 x^{2} - 1)$ como $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$- \frac{6 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.18.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{6 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.18.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{6 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3.18.10

Multiplica $\frac{6 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ por $1$ .

$f''' (x) = \frac{6 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 4

La tercera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{6 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{6 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$