Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 + 6 x + \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{24} x^{4} + \frac{1}{120} x^{5}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 + 6 x + \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{24} x^{4} + \frac{1}{120} x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Paso 1.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$0 + 6 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 6 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 + 6 + \frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Paso 1.3.3

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$0 + 6 + \frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Paso 1.3.4

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{2}$ .

$0 + 6 + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $\frac{1}{24}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{24} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 + 6 + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$0 + 6 + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{24} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Paso 1.4.3

Combina $4$ y $\frac{1}{24}$ .

$0 + 6 + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{4}{24} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Paso 1.4.4

Combina $\frac{4}{24}$ y $x^{3}$ .

$0 + 6 + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{4 x^{3}}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Paso 1.4.5

Cancela el factor común de $4$ y $24$ .

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Paso 1.4.5.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$0 + 6 + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{4 (x^{3})}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Paso 1.4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.5.2.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$0 + 6 + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Paso 1.4.5.2.2

Cancela el factor común.

$0 + 6 + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Paso 1.4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$0 + 6 + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Paso 1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$ .

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Paso 1.5.1

Como $\frac{1}{120}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{120} x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{120} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$0 + 6 + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{120} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$0 + 6 + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{120} (5 x^{4})$

Paso 1.5.3

Combina $5$ y $\frac{1}{120}$ .

$0 + 6 + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5}{120} x^{4}$

Paso 1.5.4

Combina $\frac{5}{120}$ y $x^{4}$ .

$0 + 6 + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{4}}{120}$

Paso 1.5.5

Cancela el factor común de $5$ y $120$ .

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Paso 1.5.5.1

Factoriza $5$ de $5 x^{4}$ .

$0 + 6 + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 (x^{4})}{120}$

Paso 1.5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.5.2.1

Factoriza $5$ de $120$ .

$0 + 6 + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{4}}{5 \cdot 24}$

Paso 1.5.5.2.2

Cancela el factor común.

$0 + 6 + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{4}}{5 \cdot 24}$

Paso 1.5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$0 + 6 + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Suma $0$ y $6$ .

$6 + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24}$

Paso 1.6.2

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{3 x^{2}}{2} + 6$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{3 x^{2}}{2} + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{24}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{24}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{24}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{1}{24}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{4}}{24}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{24} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{24}$ .

$\frac{4}{24} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.2.4

Combina $\frac{4}{24}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.2.5

Cancela el factor común de $4$ y $24$ .

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Paso 2.2.5.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3})}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.5.2.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{6}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{3}}{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.3

Combina $3$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{3}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.4

Combina $\frac{3}{6}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{3 x^{2}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.5

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 2.3.5.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{3 (x^{2})}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.4.3

Combina $2$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.4.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.4.5

Combina $\frac{6}{2}$ y $x$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.4.6

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 2.4.6.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.4.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.4.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.4.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.4.6.2.4

Divide $3 x$ por $1$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.5.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + 3 x + 0$

Paso 2.5.2

Suma $\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + 3 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + 3 x$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{6}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{3}}{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 3.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{3}{6}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 3.2.5

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 3.2.5.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2})}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 3.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.5.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 3.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 3.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 3.3.3

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 3.3.4

Combina $\frac{2}{2}$ y $x$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 3.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 3.3.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + x + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{2} + x + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + x + 3 \cdot 1$

Paso 3.4.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$f''' (x) = \frac{x^{2}}{2} + x + 3$

Paso 4

La tercera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x^{2}}{2} + x + 3$ .

$\frac{x^{2}}{2} + x + 3$