Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 a^{3 x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 a^{3 x}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia generalizada, que establece que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ es $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ donde $f = a$ y $g = 3 x$ .

$3 (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 1.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$3 (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 1.3.2.2

Multiplica $x$ por $0$ .

$3 (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 1.3.2.3

Multiplica $0$ por $a^{3 x - 1}$ .

$3 (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 1.3.2.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$3 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 1.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln (a))$

Paso 1.3.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln (a))$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 \cdot 1 (a^{3 x} \ln (a))$

Paso 1.3.6

Multiplica $9$ por $1$ .

$f' (x) = 9 a^{3 x} \ln (a)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $9 \ln (a)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 a^{3 x} \ln (a)$ con respecto a $x$ es $9 \ln (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$9 \ln (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia generalizada, que establece que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ es $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ donde $f = a$ y $g = 3 x$ .

$9 \ln (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a$ con respecto a $x$ es $0$ .

$9 \ln (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 2.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$9 \ln (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $x$ por $0$ .

$9 \ln (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 2.3.2.3

Multiplica $0$ por $a^{3 x - 1}$ .

$9 \ln (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 2.3.2.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$9 \ln (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 2.4

Eleva $\ln (a)$ a la potencia de $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{1} (a) \ln (a))))$

Paso 2.5

Eleva $\ln (a)$ a la potencia de $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{1} (a) \ln^{1} (a))))$

Paso 2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{1 + 1}))$

Paso 2.7

Suma $1$ y $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{2} (a)))$

Paso 2.8

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

Paso 2.9

Multiplica $3$ por $9$ .

$27 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

Paso 2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$27 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

Paso 2.11

Multiplica $27$ por $1$ .

$f'' (x) = 27 a^{3 x} \ln^{2} (a)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $27 \ln^{2} (a)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27 a^{3 x} \ln^{2} (a)$ con respecto a $x$ es $27 \ln^{2} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$27 \ln^{2} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia generalizada, que establece que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ es $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ donde $f = a$ y $g = 3 x$ .

$27 \ln^{2} (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.3.1

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a$ con respecto a $x$ es $0$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 3.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $x$ por $0$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $0$ por $a^{3 x - 1}$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 3.3.2.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$27 \ln^{2} (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 3.4

Eleva $\ln (a)$ a la potencia de $1$ .

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{2} (a) \ln^{1} (a))))$

Paso 3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{2 + 1}))$

Paso 3.6

Suma $2$ y $1$ .

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{3} (a)))$

Paso 3.7

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$27 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

Paso 3.8

Multiplica $3$ por $27$ .

$81 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$81 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

Paso 3.10

Multiplica $81$ por $1$ .

$f''' (x) = 81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $81 \ln^{3} (a)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$ con respecto a $x$ es $81 \ln^{3} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$81 \ln^{3} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia generalizada, que establece que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ es $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ donde $f = a$ y $g = 3 x$ .

$81 \ln^{3} (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.3.1

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a$ con respecto a $x$ es $0$ .

$81 \ln^{3} (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 4.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$81 \ln^{3} (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $x$ por $0$ .

$81 \ln^{3} (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $0$ por $a^{3 x - 1}$ .

$81 \ln^{3} (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 4.3.2.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$81 \ln^{3} (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Paso 4.4

Eleva $\ln (a)$ a la potencia de $1$ .

$81 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{3} (a) \ln^{1} (a))))$

Paso 4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$81 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{3 + 1}))$

Paso 4.6

Suma $3$ y $1$ .

$81 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{4} (a)))$

Paso 4.7

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$81 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{4} (a))$

Paso 4.8

Multiplica $3$ por $81$ .

$243 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{4} (a))$

Paso 4.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$243 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{4} (a))$

Paso 4.10

Multiplica $243$ por $1$ .

$f^{4} (x) = 243 a^{3 x} \ln^{4} (a)$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $243 a^{3 x} \ln^{4} (a)$ .

$243 a^{3 x} \ln^{4} (a)$