Cálculo Ejemplos

$P (t) = 4 e^{\frac{1}{2} t} - t + 1$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 e^{\frac{1}{2} t} - t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}]$ .

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Paso 1.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $t$ .

$\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4 e^{\frac{t}{2}}$ con respecto a $t$ es $4 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = \frac{t}{2}$ .

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Paso 1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{t}{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$4 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{t}{2}$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.2.4

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{t}{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.2.6

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} \frac{1}{2}) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.2.7

Combina $e^{\frac{t}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.2.8

Combina $4$ y $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.2.9

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.2.9.1

Factoriza $2$ de $4 e^{\frac{t}{2}}$ .

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{1} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.2.9.2.4

Divide $2 e^{\frac{t}{2}}$ por $1$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [- t]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 + 0$

Paso 1.4.2

Suma $2 e^{\frac{t}{2}} - 1$ y $0$ .

$f' (t) = 2 e^{\frac{t}{2}} - 1$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 e^{\frac{t}{2}} - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 e^{\frac{t}{2}}$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = \frac{t}{2}$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{t}{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{t}{2}$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.2.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{t}{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.2.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} \frac{1}{2}) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.2.6

Combina $e^{\frac{t}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.2.7

Combina $2$ y $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.2.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.2.8.2

Divide $e^{\frac{t}{2}}$ por $1$ .

$e^{\frac{t}{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$e^{\frac{t}{2}} + 0$

Paso 2.3.2

Suma $e^{\frac{t}{2}}$ y $0$ .

$f'' (t) = e^{\frac{t}{2}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = \frac{t}{2}$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{t}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{t}{2}$ .

$e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{t}{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{\frac{t}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} \cdot 1$

Paso 3.2.4

Multiplica $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ por $1$ .

$f''' (t) = \frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = \frac{t}{2}$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{t}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{t}{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Paso 4.3

Diferencia.

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Paso 4.3.1

Combina $e^{\frac{t}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]$

Paso 4.3.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{t}{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.3.3

Combina fracciones.

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2 \cdot 2} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.3.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{4} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{4} \cdot 1$

Paso 4.3.5

Multiplica $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{4}$ por $1$ .

$f^{4} (t) = \frac{e^{\frac{t}{2}}}{4}$

Paso 5

La cuarta derivada de $P (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{4}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{4}$