Cálculo Ejemplos

$f (x) = (x - 6) (4 x + 4)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 6$ y $g (x) = 4 x + 4$ .

$(x - 6) \frac{d}{d x} [4 x + 4] + (4 x + 4) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x - 6) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (4 x + 4) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Paso 1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 6) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (4 x + 4) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x - 6) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (4 x + 4) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Paso 1.2.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$(x - 6) (4 + \frac{d}{d x} [4]) + (4 x + 4) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Paso 1.2.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x - 6) (4 + 0) + (4 x + 4) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Suma $4$ y $0$ .

$(x - 6) \cdot 4 + (4 x + 4) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Paso 1.2.6.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x - 6$ .

$4 \cdot (x - 6) + (4 x + 4) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Paso 1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$4 (x - 6) + (4 x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Paso 1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (x - 6) + (4 x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Paso 1.2.9

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 (x - 6) + (4 x + 4) (1 + 0)$

Paso 1.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$4 (x - 6) + (4 x + 4) \cdot 1$

Paso 1.2.10.2

Multiplica $4 x + 4$ por $1$ .

$4 (x - 6) + 4 x + 4$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 4 \cdot - 6 + 4 x + 4$

Paso 1.3.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.2.1

Multiplica $4$ por $- 6$ .

$4 x - 24 + 4 x + 4$

Paso 1.3.2.2

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$8 x - 24 + 4$

Paso 1.3.2.3

Suma $- 24$ y $4$ .

$f' (x) = 8 x - 20$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x - 20$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 20]$

Paso 2.2.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- 20]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $- 20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 20$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 + 0$

Paso 2.3.2

Suma $8$ y $0$ .

$f'' (x) = 8$

Paso 3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = 0$

Paso 4

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = 0$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$