Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(1 - x)}^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Reescribe ${(1 - x)}^{2}$ como $(1 - x) (1 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x)]$

Paso 1.2

Expande $(1 - x) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [1 (1 - x) - x (1 - x)]$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)]$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)]$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)]$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $- x$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x \cdot 1 - x (- x)]$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - x (- x)]$

Paso 1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x]$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)]$

Paso 1.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}]$

Paso 1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x + 1 x^{2}]$

Paso 1.3.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x + x^{2}]$

Paso 1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Paso 1.4

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 x + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.6

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.7

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.9

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 + 2 x$

Paso 1.11

Reordena los términos.

$f' (x) = 2 x - 2$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.3.2

Suma $2$ y $0$ .

$f'' (x) = 2$

Paso 3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = 0$

Paso 4

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = 0$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$