Cálculo Ejemplos

$f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - \frac{x^{2}}{50}$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$- (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}])$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}])$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$- (e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}])$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $- \frac{1}{50}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{50}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.1.3.2

Combina fracciones.

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Paso 1.1.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.1.3.2.2

Multiplica $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ por $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.1.3.2.3

Combina $\frac{1}{50}$ y $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} (2 x)$

Paso 1.1.3.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.3.4.1

Combina $2$ y $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} x$

Paso 1.1.3.4.2

Combina $\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ y $x$ .

$\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{50}$

Paso 1.1.3.4.3

Cancela el factor común de $2$ y $50$ .

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Paso 1.1.3.4.3.1

Factoriza $2$ de $2 e^{- \frac{x^{2}}{50}} x$ .

$\frac{2 (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{50}$

Paso 1.1.3.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.4.3.2.1

Factoriza $2$ de $50$ .

$\frac{2 (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{2 \cdot 25}$

Paso 1.1.3.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{2 \cdot 25}$

Paso 1.1.3.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reordena los factores en $e^{- \frac{x^{2}}{50}} x$ .

$\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Paso 1.1.4.2

Reordena los términos.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Paso 1.1.4.3

Reordena los factores en $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$ .

$f' (x) = \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Como $\frac{1}{25}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{25} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$ .

$\frac{1}{25} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$\frac{1}{25} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}] + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - \frac{x^{2}}{50}$ .

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Paso 1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{25} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (x (e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.4

Diferencia.

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Paso 1.2.4.1

Como $- \frac{1}{50}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{50}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{25} (x (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 1.2.4.2.1

Combina $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ y $\frac{1}{50}$ .

$\frac{1}{25} (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.4.2.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.4.4

Combina fracciones.

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Paso 1.2.4.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{25} (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} x + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.4.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} x + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.4.4.3

Combina $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50}$ y $x$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}}) x}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.2.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.8.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $50$ .

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Paso 1.2.8.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.8.2.2.1

Factoriza $2$ de $50$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{2 (25)} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.8.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{25} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{2 \cdot 25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{25} (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \cdot 1)$

Paso 1.2.10

Multiplica $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ por $1$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Paso 1.2.11

Simplifica.

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Paso 1.2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}) + \frac{1}{25} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Paso 1.2.11.2

Combina los términos.

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Paso 1.2.11.2.1

Multiplica $\frac{1}{25}$ por $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25 \cdot 25} + \frac{1}{25} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Paso 1.2.11.2.2

Multiplica $25$ por $25$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{1}{25} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Paso 1.2.11.2.3

Combina $\frac{1}{25}$ y $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} = 0$

Paso 2.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = - 5, 5$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 5$ en $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f (- 5) = - e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f (- 5) = - e^{- \frac{25}{50}}$

Paso 3.1.2.2

Cancela el factor común de $25$ y $50$ .

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Paso 3.1.2.2.1

Factoriza $25$ de $25$ .

$f (- 5) = - e^{- \frac{25 (1)}{50}}$

Paso 3.1.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.2.2.1

Factoriza $25$ de $50$ .

$f (- 5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Paso 3.1.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Paso 3.1.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 5) = - e^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.1.2.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 5) = - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.1.2.4

La respuesta final es $- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 5$ en $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ es $(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 3.3

Sustituye $5$ en $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = - e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (5) = - e^{- \frac{25}{50}}$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común de $25$ y $50$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Factoriza $25$ de $25$ .

$f (5) = - e^{- \frac{25 (1)}{50}}$

Paso 3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.2.2.1

Factoriza $25$ de $50$ .

$f (5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Paso 3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Paso 3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (5) = - e^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.3.2.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (5) = - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.3.2.4

La respuesta final es $- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $5$ en $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ es $(5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 5)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5.1$ en la expresión.

$f'' (- 5.1) = - \frac{{(- 5.1)}^{2} e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Mueve $e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{{(- 5.1)}^{2}}{625 e^{\frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $- 5.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{{(- 5.1)}^{2}}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 5.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 5.2.1.4

Divide $26.01$ por $50$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 5.2.1.5

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot {2.71828182}^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 5.2.1.6

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $0.5202$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot 1.68236408} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 5.2.1.7

Multiplica $625$ por $1.68236408$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{1051.47755554} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 5.2.1.8

Divide $26.01$ por $1051.47755554$ .

$f'' (- 5.1) = - 1 \cdot 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 5.2.1.9

Multiplica $- 1$ por $0.02473661$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 5.2.1.10

Mueve $e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}$

Paso 5.2.1.11

Eleva $- 5.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{26.01}{50}}}$

Paso 5.2.1.12

Divide $26.01$ por $50$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{0.5202}}$

Paso 5.2.2

Suma $- 0.02473661$ y $\frac{1}{25 e^{0.5202}}$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.00096055$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 0.00096055$ .

$- 0.00096055$

Paso 5.3

En $- 5.1$ , la segunda derivada es $- 0.00096055$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 5)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 5)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 5, 5)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - \frac{{(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0^{2} e^{- \frac{0}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 6.2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0 e^{- \frac{0}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 6.2.1.2.2

Divide $0$ por $50$ .

$f'' (0) = - \frac{0 e^{- 0}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 6.2.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0 e^{0}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 6.2.1.2.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f'' (0) = - \frac{0 \cdot 1}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$f'' (0) = - \frac{0}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 6.2.1.4

Divide $0$ por $625$ .

$f'' (0) = - 0 + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 6.2.1.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{- \frac{0}{50}}}{25}$

Paso 6.2.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.7.1

Divide $0$ por $50$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{- 0}}{25}$

Paso 6.2.1.7.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{0}}{25}$

Paso 6.2.1.7.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{1}{25}$

Paso 6.2.2

Suma $0$ y $\frac{1}{25}$ .

$f'' (0) = \frac{1}{25}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $\frac{1}{25}$ .

$\frac{1}{25}$

Paso 6.3

En $0$ , la segunda derivada es $0.04$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 5, 5)$ .

Incremento en $(- 5, 5)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(5, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $5.1$ en la expresión.

$f'' (5.1) = - \frac{{(5.1)}^{2} e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Mueve $e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (5.1) = - \frac{{(5.1)}^{2}}{625 e^{\frac{{5.1}^{2}}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $5.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (5.1) = - \frac{{5.1}^{2}}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $5.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 7.2.1.4

Divide $26.01$ por $50$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 7.2.1.5

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot {2.71828182}^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 7.2.1.6

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $0.5202$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot 1.68236408} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 7.2.1.7

Multiplica $625$ por $1.68236408$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{1051.47755554} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 7.2.1.8

Divide $26.01$ por $1051.47755554$ .

$f'' (5.1) = - 1 \cdot 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 7.2.1.9

Multiplica $- 1$ por $0.02473661$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Paso 7.2.1.10

Mueve $e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{{5.1}^{2}}{50}}}$

Paso 7.2.1.11

Eleva $5.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{26.01}{50}}}$

Paso 7.2.1.12

Divide $26.01$ por $50$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{0.5202}}$

Paso 7.2.2

Suma $- 0.02473661$ y $\frac{1}{25 e^{0.5202}}$ .

$f'' (5.1) = - 0.00096055$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 0.00096055$ .

$- 0.00096055$

Paso 7.3

En $5.1$ , la segunda derivada es $- 0.00096055$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(5, \infty)$ .

Decrecimiento en $(5, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

$(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 9