Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} (6 x + 8)$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 6 x + 8$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [6 x + 8] + (6 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [8]) + (6 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.2.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) + (6 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]) + (6 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$x^{3} (6 + \frac{d}{d x} [8]) + (6 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.2.5

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{3} (6 + 0) + (6 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.6.1

Suma $6$ y $0$ .

$x^{3} \cdot 6 + (6 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.2.6.2

Mueve $6$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$6 \cdot x^{3} + (6 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 x^{3} + (6 x + 8) (3 x^{2})$

Paso 1.1.2.8

Mueve $3$ a la izquierda de $6 x + 8$ .

$6 x^{3} + 3 \cdot (6 x + 8) x^{2}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{3} + (3 (6 x) + 3 \cdot 8) x^{2}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{3} + 3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot 8 x^{2}$

Paso 1.1.3.3

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $6$ por $3$ .

$6 x^{3} + 18 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 8 x^{2}$

Paso 1.1.3.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.3.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$6 x^{3} + 18 (x^{2} x) + 3 \cdot 8 x^{2}$

Paso 1.1.3.3.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$6 x^{3} + 18 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 8 x^{2}$

Paso 1.1.3.3.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 x^{3} + 18 x^{2 + 1} + 3 \cdot 8 x^{2}$

Paso 1.1.3.3.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$6 x^{3} + 18 x^{3} + 3 \cdot 8 x^{2}$

Paso 1.1.3.3.3

Multiplica $3$ por $8$ .

$6 x^{3} + 18 x^{3} + 24 x^{2}$

Paso 1.1.3.3.4

Suma $6 x^{3}$ y $18 x^{3}$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 24 x^{2}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $24 x^{3} + 24 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x^{3}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $24$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x^{2}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$72 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$72 x^{2} + 24 (2 x)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $24$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + 48 x$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $72 x^{2} + 48 x$ .

$72 x^{2} + 48 x$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $72 x^{2} + 48 x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$72 x^{2} + 48 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $24 x$ de $72 x^{2} + 48 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Factoriza $24 x$ de $72 x^{2}$ .

$24 x (3 x) + 48 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $24 x$ de $48 x$ .

$24 x (3 x) + 24 x (2) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $24 x$ de $24 x (3 x) + 24 x (2)$ .

$24 x (3 x + 2) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 x + 2 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $3 x + 2 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 2$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Paso 2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $24 x (3 x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = x^{3} (6 x + 8)$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{3} (6 (0) + 8)$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 (6 (0) + 8)$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $6$ por $0$ .

$f (0) = 0 (0 + 8)$

Paso 3.1.2.3

Suma $0$ y $8$ .

$f (0) = 0 \cdot 8$

Paso 3.1.2.4

Multiplica $0$ por $8$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.1.2.5

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = x^{3} (6 x + 8)$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 3.3

Sustituye $- \frac{2}{3}$ en $f (x) = x^{3} (6 x + 8)$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{2}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{2}{3}) = {(- \frac{2}{3})}^{3} (6 (- \frac{2}{3}) + 8)$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3} (6 (- \frac{2}{3}) + 8)$

Paso 3.3.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}}) \cdot (6 (- \frac{2}{3}) + 8)$

Paso 3.3.2.2

Evalúa los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2^{3}}{3^{3}} \cdot (6 (- \frac{2}{3}) + 8)$

Paso 3.3.2.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3^{3}} \cdot (6 (- \frac{2}{3}) + 8)$

Paso 3.3.2.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} \cdot (6 (- \frac{2}{3}) + 8)$

Paso 3.3.2.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.3.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} \cdot (6 (\frac{- 2}{3}) + 8)$

Paso 3.3.2.3.1.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} \cdot (3 (2) (\frac{- 2}{3}) + 8)$

Paso 3.3.2.3.1.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} \cdot (3 \cdot (2 (\frac{- 2}{3})) + 8)$

Paso 3.3.2.3.1.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} \cdot (2 \cdot - 2 + 8)$

Paso 3.3.2.3.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} \cdot (- 4 + 8)$

Paso 3.3.2.4

Suma $- 4$ y $8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} \cdot 4$

Paso 3.3.2.5

Multiplica $- \frac{8}{27} \cdot 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.5.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - 4 (\frac{8}{27})$

Paso 3.3.2.5.2

Combina $- 4$ y $\frac{8}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 4 \cdot 8}{27}$

Paso 3.3.2.5.3

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 32}{27}$

Paso 3.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{32}{27}$

Paso 3.3.2.7

La respuesta final es $- \frac{32}{27}$ .

$- \frac{32}{27}$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \frac{2}{3}$ en $f (x) = x^{3} (6 x + 8)$ es $(- \frac{2}{3}, - \frac{32}{27})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \frac{2}{3}, - \frac{32}{27})$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (- \frac{2}{3}, - \frac{32}{27})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{2}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.7\overline{6}$ en la expresión.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 72 {(- 0.7\overline{6})}^{2} + 48 (- 0.7\overline{6})$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 0.7\overline{6}$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 72 \cdot 0.58\overline{7} + 48 (- 0.7\overline{6})$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $72$ por $0.58\overline{7}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 42.32 + 48 (- 0.7\overline{6})$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $48$ por $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 42.32 - 36.8$

Paso 5.2.2

Resta $36.8$ de $42.32$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 5.52$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $5.52$ .

$5.52$

Paso 5.3

En $- 0.7\overline{6}$ , la segunda derivada es $5.52$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Incremento en $(- \infty, - \frac{2}{3})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{2}{3}, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.\overline{3}$ en la expresión.

$f'' (- 0.\overline{3}) = 72 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 48 (- 0.\overline{3})$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.\overline{3}$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 72 \cdot 0.\overline{1} + 48 (- 0.\overline{3})$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $72$ por $0.\overline{1}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 8 + 48 (- 0.\overline{3})$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $48$ por $- 0.\overline{3}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 8 - 16$

Paso 6.2.2

Resta $16$ de $8$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = - 8$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 8$ .

$- 8$

Paso 6.3

En $- 0.\overline{3}$ , la segunda derivada es $- 8$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \frac{2}{3}, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \frac{2}{3}, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 72 {(0.1)}^{2} + 48 (0.1)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.1) = 72 \cdot 0.01 + 48 (0.1)$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $72$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.72 + 48 (0.1)$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $48$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.72 + 4.8$

Paso 7.2.2

Suma $0.72$ y $4.8$ .

$f'' (0.1) = 5.52$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $5.52$ .

$5.52$

Paso 7.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $5.52$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- \frac{2}{3}, - \frac{32}{27}), (0, 0)$ .

$(- \frac{2}{3}, - \frac{32}{27}), (0, 0)$

Paso 9