Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{4} + 1$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{4} + 1$ .

$2 \frac{3 \cdot (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.6.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.4

Multiplica $x^{3}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.4.1

Mueve $x^{3}$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.4.3

Suma $3$ y $3$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.5

Combina $2$ y $\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.6

Simplifica.

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Paso 1.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 ((3 x^{4} + 3 \cdot 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (3 x^{4} x^{2}) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.6.4.1.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.6.4.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{2 (3 (x^{2} x^{4})) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.6.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (3 x^{2 + 4}) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.6.4.1.1.3

Suma $2$ y $4$ .

$\frac{2 (3 x^{6}) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.6.4.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{6} + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.6.4.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{6 x^{6} + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.6.4.1.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{6} + 6 x^{2} + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.6.4.1.5

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{6 x^{6} + 6 x^{2} - 8 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.6.4.2

Resta $8 x^{6}$ de $6 x^{6}$ .

$\frac{- 2 x^{6} + 6 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.6.5

Factoriza $2 x^{2}$ de $- 2 x^{6} + 6 x^{2}$ .

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Paso 1.1.6.5.1

Factoriza $2 x^{2}$ de $- 2 x^{6}$ .

$\frac{2 x^{2} (- x^{4}) + 6 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.6.5.2

Factoriza $2 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} (- x^{4}) + 2 x^{2} (3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.6.5.3

Factoriza $2 x^{2}$ de $2 x^{2} (- x^{4}) + 2 x^{2} (3)$ .

$\frac{2 x^{2} (- x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.6.6

Factoriza $- 1$ de $- x^{4}$ .

$\frac{2 x^{2} (- (x^{4}) + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.6.7

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x^{2} (- (x^{4}) - 1 (- 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.6.8

Factoriza $- 1$ de $- (x^{4}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x^{2} (- (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.6.9

Reescribe $- (x^{4} - 3)$ como $- 1 (x^{4} - 3)$ .

$\frac{2 x^{2} (- 1 (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.6.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{(2 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2 x^{2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}]$

Paso 1.2.2

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{4} - 3)] - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{4} - 3)] - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{4} - 3)] - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{4} - 3$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3] + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5

Diferencia.

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Paso 1.2.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (4 x^{3} + 0) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (4 x^{3}) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 1.2.6

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.6.1

Mueve $x^{3}$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{3} x^{2} \cdot 4 + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 1.2.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{3 + 2} \cdot 4 + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 1.2.6.3

Suma $3$ y $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{5} \cdot 4 + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 1.2.7

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.2.7.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 \cdot x^{5} + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 1.2.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + (x^{4} - 3) (2 x)) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 1.2.7.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{4} - 3$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 \cdot (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 1.2.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Paso 1.2.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4} + 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 1.2.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) (2 u \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 1.2.8.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} + 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 1.2.9

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.2.9.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 1.2.9.2

Factoriza $x^{4} + 1$ de ${(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$ .

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Paso 1.2.9.2.1

Factoriza $x^{4} + 1$ de ${(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 1.2.9.2.2

Factoriza $x^{4} + 1$ de $- 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)) + (x^{4} + 1) (- 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 1.2.9.2.3

Factoriza $x^{4} + 1$ de $(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)) + (x^{4} + 1) (- 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Paso 1.2.10

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.10.1

Factoriza $x^{4} + 1$ de ${(x^{4} + 1)}^{4}$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.10.2

Cancela el factor común.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.10.3

Reescribe la expresión.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.11

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.13

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.14

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.14.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.14.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{2} (x^{4} - 3) x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.15

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.15.1

Mueve $x^{3}$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 (x^{3} x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.15.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{3 + 2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.15.3

Suma $3$ y $2$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.16

Combina $- 2$ y $\frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18

Simplifica.

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Paso 1.2.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + (2 x^{4} + 2 \cdot - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x) - 8 x^{5} x^{4} - 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.18.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.18.5.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.18.5.1.1.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.18.5.1.1.1.1

Mueve $x$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x \cdot x^{4}) + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.18.5.1.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{1} x^{4}) + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{1 + 4} + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.1.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{5} + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.1.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.2

Suma $4 x^{5}$ y $2 x^{5}$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (6 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.3

Expande $(x^{4} + 1) (6 x^{5} - 6 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.18.5.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (x^{4} (6 x^{5} - 6 x) + 1 (6 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (x^{4} (6 x^{5}) + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (x^{4} (6 x^{5}) + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.18.5.1.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.18.5.1.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{2 (6 x^{4} x^{5} + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.4.1.2

Multiplica $x^{4}$ por $x^{5}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.18.5.1.4.1.2.1

Mueve $x^{5}$ .

$- \frac{2 (6 (x^{5} x^{4}) + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 (6 x^{5 + 4} + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.4.1.2.3

Suma $5$ y $4$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.4.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{4} x + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.4.1.4

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.18.5.1.4.1.4.1

Mueve $x$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 (x \cdot x^{4}) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.4.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.18.5.1.4.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 (x^{1} x^{4}) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.4.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{1 + 4} + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.4.1.4.3

Suma $1$ y $4$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{5} + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.4.1.5

Multiplica $6 x^{5}$ por $1$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{5} + 6 x^{5} + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.4.1.6

Multiplica $- 6 x$ por $1$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{5} + 6 x^{5} - 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.4.2

Suma $- 6 x^{5}$ y $6 x^{5}$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} + 0 - 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.4.3

Suma $6 x^{9}$ y $0$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (6 x^{9}) + 2 (- 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.6

Multiplica $6$ por $2$ .

$- \frac{12 x^{9} + 2 (- 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.7

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.8

Multiplica $x^{5}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.18.5.1.8.1

Mueve $x^{4}$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 (x^{4} x^{5})) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 x^{4 + 5}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.8.3

Suma $4$ y $5$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 x^{9}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.9

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x - 16 x^{9} + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.10

Multiplica $- 3$ por $- 8$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x - 16 x^{9} + 2 (24 x^{5})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.1.11

Multiplica $24$ por $2$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x - 16 x^{9} + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.5.2

Resta $16 x^{9}$ de $12 x^{9}$ .

$- \frac{- 4 x^{9} - 12 x + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.18.6.1

Factoriza $4 x$ de $- 4 x^{9} - 12 x + 48 x^{5}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.18.6.1.1

Factoriza $4 x$ de $- 4 x^{9}$ .

$- \frac{4 x (- x^{8}) - 12 x + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.6.1.2

Factoriza $4 x$ de $- 12 x$ .

$- \frac{4 x (- x^{8}) + 4 x (- 3) + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.6.1.3

Factoriza $4 x$ de $48 x^{5}$ .

$- \frac{4 x (- x^{8}) + 4 x (- 3) + 4 x (12 x^{4})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.6.1.4

Factoriza $4 x$ de $4 x (- x^{8}) + 4 x (- 3)$ .

$- \frac{4 x (- x^{8} - 3) + 4 x (12 x^{4})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.6.1.5

Factoriza $4 x$ de $4 x (- x^{8} - 3) + 4 x (12 x^{4})$ .

$- \frac{4 x (- x^{8} - 3 + 12 x^{4})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.6.2

Reordena los términos.

$- \frac{4 x (- x^{8} + 12 x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.7

Factoriza $- 1$ de $- x^{8}$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8}) + 12 x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.8

Factoriza $- 1$ de $12 x^{4}$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8}) - (- 12 x^{4}) - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.9

Factoriza $- 1$ de $- (x^{8}) - (- 12 x^{4})$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8} - 12 x^{4}) - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.10

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8} - 12 x^{4}) - 1 (3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.11

Factoriza $- 1$ de $- (x^{8} - 12 x^{4}) - 1 (3)$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8} - 12 x^{4} + 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.12

Reescribe $- (x^{8} - 12 x^{4} + 3)$ como $- 1 (x^{8} - 12 x^{4} + 3)$ .

$- \frac{4 x (- 1 (x^{8} - 12 x^{4} + 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.14

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.15

Multiplica $\frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ por $1$ .

$\frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.16

Reordena los factores en $\frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}} = 0$

Paso 2.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx - 1.85122502, - 0.7109206, 0, 0.7109206, 1.85122502$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 1.85122502$ en $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.85122502$ en la expresión.

$f (- 1.85122502) = \frac{2 {(- 1.85122502)}^{3}}{{(- 1.85122502)}^{4} + 1}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Eleva $- 1.85122502$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{2 \cdot - 6.34421126}{{(- 1.85122502)}^{4} + 1}$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1.2.2.1

Eleva $- 1.85122502$ a la potencia de $4$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{2 \cdot - 6.34421126}{11.74456266 + 1}$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $11.74456266$ y $1$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{2 \cdot - 6.34421126}{12.74456266}$

Paso 3.1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 6.34421126$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{- 12.68842253}{12.74456266}$

Paso 3.1.2.3.2

Divide $- 12.68842253$ por $12.74456266$ .

$f (- 1.85122502) = - 0.99559497$

Paso 3.1.2.4

La respuesta final es $- 0.99559497$ .

$- 0.99559497$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1.85122502$ en $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ es $(- 1.85122502, - 0.99559497)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1.85122502, - 0.99559497)$

Paso 3.3

Sustituye $- 0.7109206$ en $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.7109206$ en la expresión.

$f (- 0.7109206) = \frac{2 {(- 0.7109206)}^{3}}{{(- 0.7109206)}^{4} + 1}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Eleva $- 0.7109206$ a la potencia de $3$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{2 \cdot - 0.35930503}{{(- 0.7109206)}^{4} + 1}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.2.2.1

Eleva $- 0.7109206$ a la potencia de $4$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{2 \cdot - 0.35930503}{0.25543735 + 1}$

Paso 3.3.2.2.2

Suma $0.25543735$ y $1$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{2 \cdot - 0.35930503}{1.25543735}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 0.35930503$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{- 0.71861007}{1.25543735}$

Paso 3.3.2.3.2

Divide $- 0.71861007$ por $1.25543735$ .

$f (- 0.7109206) = - 0.57239819$

Paso 3.3.2.4

La respuesta final es $- 0.57239819$ .

$- 0.57239819$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 0.7109206$ en $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ es $(- 0.7109206, - 0.57239819)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 0.7109206, - 0.57239819)$

Paso 3.5

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{3}}{{(0)}^{4} + 1}$

Paso 3.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0^{4} + 1}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0 + 1}$

Paso 3.5.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{1}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.2.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Paso 3.5.2.3.2

Divide $0$ por $1$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.5.2.4

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 3.7

Sustituye $0.7109206$ en $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.7109206$ en la expresión.

$f (0.7109206) = \frac{2 {(0.7109206)}^{3}}{{(0.7109206)}^{4} + 1}$

Paso 3.7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.7.2.1

Eleva $0.7109206$ a la potencia de $3$ .

$f (0.7109206) = \frac{2 \cdot 0.35930503}{{0.7109206}^{4} + 1}$

Paso 3.7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.2.1

Eleva $0.7109206$ a la potencia de $4$ .

$f (0.7109206) = \frac{2 \cdot 0.35930503}{0.25543735 + 1}$

Paso 3.7.2.2.2

Suma $0.25543735$ y $1$ .

$f (0.7109206) = \frac{2 \cdot 0.35930503}{1.25543735}$

Paso 3.7.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.3.1

Multiplica $2$ por $0.35930503$ .

$f (0.7109206) = \frac{0.71861007}{1.25543735}$

Paso 3.7.2.3.2

Divide $0.71861007$ por $1.25543735$ .

$f (0.7109206) = 0.57239819$

Paso 3.7.2.4

La respuesta final es $0.57239819$ .

$0.57239819$

Paso 3.8

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0.7109206$ en $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ es $(0.7109206, 0.57239819)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0.7109206, 0.57239819)$

Paso 3.9

Sustituye $1.85122502$ en $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.85122502$ en la expresión.

$f (1.85122502) = \frac{2 {(1.85122502)}^{3}}{{(1.85122502)}^{4} + 1}$

Paso 3.9.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.2.1

Eleva $1.85122502$ a la potencia de $3$ .

$f (1.85122502) = \frac{2 \cdot 6.34421126}{{1.85122502}^{4} + 1}$

Paso 3.9.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.2.2.1

Eleva $1.85122502$ a la potencia de $4$ .

$f (1.85122502) = \frac{2 \cdot 6.34421126}{11.74456266 + 1}$

Paso 3.9.2.2.2

Suma $11.74456266$ y $1$ .

$f (1.85122502) = \frac{2 \cdot 6.34421126}{12.74456266}$

Paso 3.9.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.2.3.1

Multiplica $2$ por $6.34421126$ .

$f (1.85122502) = \frac{12.68842253}{12.74456266}$

Paso 3.9.2.3.2

Divide $12.68842253$ por $12.74456266$ .

$f (1.85122502) = 0.99559497$

Paso 3.9.2.4

La respuesta final es $0.99559497$ .

$0.99559497$

Paso 3.10

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $1.85122502$ en $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ es $(1.85122502, 0.99559497)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(1.85122502, 0.99559497)$

Paso 3.11

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- 1.85122502, - 0.99559497), (- 0.7109206, - 0.57239819), (0, 0), (0.7109206, 0.57239819), (1.85122502, 0.99559497)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 1.85122502) \cup (- 1.85122502, - 0.7109206) \cup (- 0.7109206, 0) \cup (0, 0.7109206) \cup (0.7109206, 1.85122502) \cup (1.85122502, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1.85122502)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.95122502$ en la expresión.

$f'' (- 1.95122502) = \frac{4 (- 1.95122502) ({(- 1.95122502)}^{8} - 12 {(- 1.95122502)}^{4} + 3)}{{({(- 1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Multiplica $4$ por $- 1.95122502$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 7.80490009 ({(- 1.95122502)}^{8} - 12 {(- 1.95122502)}^{4} + 3)}{{({(- 1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 7.80490009$ por ${(- 1.95122502)}^{8} - 12 {(- 1.95122502)}^{4} + 3$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{{({(- 1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Eleva $- 1.95122502$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{{(14.49537411 + 1)}^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $14.49537411$ y $1$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{{15.49537411}^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $15.49537411$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{3720.54188867}$

Paso 5.2.3

Divide $- 305.72871822$ por $3720.54188867$ .

$f'' (- 1.95122502) = - 0.08217316$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $- 0.08217316$ .

$- 0.08217316$

Paso 5.3

En $- 1.95122502$ , la segunda derivada es $- 0.08217316$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 1.85122502)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 1.85122502)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1.85122502, - 0.7109206)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.28107281$ en la expresión.

$f'' (- 1.28107281) = \frac{4 (- 1.28107281) ({(- 1.28107281)}^{8} - 12 {(- 1.28107281)}^{4} + 3)}{{({(- 1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Multiplica $4$ por $- 1.28107281$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{- 5.12429125 ({(- 1.28107281)}^{8} - 12 {(- 1.28107281)}^{4} + 3)}{{({(- 1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 5.12429125$ por ${(- 1.28107281)}^{8} - 12 {(- 1.28107281)}^{4} + 3$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{{({(- 1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Eleva $- 1.28107281$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{{(2.6933653 + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $2.6933653$ y $1$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{{3.6933653}^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $3.6933653$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{50.38100121}$

Paso 6.2.3

Divide $113.07346647$ por $50.38100121$ .

$f'' (- 1.28107281) = 2.24436719$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $2.24436719$ .

$2.24436719$

Paso 6.3

En $- 1.28107281$ , la segunda derivada es $2.24436719$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 1.85122502, - 0.7109206)$ .

Incremento en $(- 1.85122502, - 0.7109206)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 0.7109206, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.3554603$ en la expresión.

$f'' (- 0.3554603) = \frac{4 (- 0.3554603) ({(- 0.3554603)}^{8} - 12 {(- 0.3554603)}^{4} + 3)}{{({(- 0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Multiplica $4$ por $- 0.3554603$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 1.4218412 ({(- 0.3554603)}^{8} - 12 {(- 0.3554603)}^{4} + 3)}{{({(- 0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 1.4218412$ por ${(- 0.3554603)}^{8} - 12 {(- 0.3554603)}^{4} + 3$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{{({(- 0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Eleva $- 0.3554603$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{{(0.01596483 + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $0.01596483$ y $1$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{{1.01596483}^{3}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $1.01596483$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{1.0486632}$

Paso 7.2.3

Divide $- 3.9934925$ por $1.0486632$ .

$f'' (- 0.3554603) = - 3.80817454$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- 3.80817454$ .

$- 3.80817454$

Paso 7.3

En $- 0.3554603$ , la segunda derivada es $- 3.80817454$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 0.7109206, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 0.7109206, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 0.7109206)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.3554603$ en la expresión.

$f'' (0.3554603) = \frac{4 (0.3554603) ({(0.3554603)}^{8} - 12 {(0.3554603)}^{4} + 3)}{{({(0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Multiplica $4$ por $0.3554603$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{1.4218412 ({0.3554603}^{8} - 12 \cdot {0.3554603}^{4} + 3)}{{({0.3554603}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $1.4218412$ por ${0.3554603}^{8} - 12 \cdot {0.3554603}^{4} + 3$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{{({0.3554603}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Eleva $0.3554603$ a la potencia de $4$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{{(0.01596483 + 1)}^{3}}$

Paso 8.2.2.2

Suma $0.01596483$ y $1$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{{1.01596483}^{3}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $1.01596483$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{1.0486632}$

Paso 8.2.3

Divide $3.9934925$ por $1.0486632$ .

$f'' (0.3554603) = 3.80817454$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $3.80817454$ .

$3.80817454$

Paso 8.3

En $0.3554603$ , la segunda derivada es $3.80817454$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, 0.7109206)$ .

Incremento en $(0, 0.7109206)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(0.7109206, 1.85122502)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.28107281$ en la expresión.

$f'' (1.28107281) = \frac{4 (1.28107281) ({(1.28107281)}^{8} - 12 {(1.28107281)}^{4} + 3)}{{({(1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1

Multiplica $4$ por $1.28107281$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{5.12429125 ({1.28107281}^{8} - 12 \cdot {1.28107281}^{4} + 3)}{{({1.28107281}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $5.12429125$ por ${1.28107281}^{8} - 12 \cdot {1.28107281}^{4} + 3$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{{({1.28107281}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Eleva $1.28107281$ a la potencia de $4$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{{(2.6933653 + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.2.2

Suma $2.6933653$ y $1$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{{3.6933653}^{3}}$

Paso 9.2.2.3

Eleva $3.6933653$ a la potencia de $3$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{50.38100121}$

Paso 9.2.3

Divide $- 113.07346647$ por $50.38100121$ .

$f'' (1.28107281) = - 2.24436719$

Paso 9.2.4

La respuesta final es $- 2.24436719$ .

$- 2.24436719$

Paso 9.3

En $1.28107281$ , la segunda derivada es $- 2.24436719$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0.7109206, 1.85122502)$ .

Decrecimiento en $(0.7109206, 1.85122502)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 10

Sustituye un valor del intervalo $(1.85122502, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.95122502$ en la expresión.

$f'' (1.95122502) = \frac{4 (1.95122502) ({(1.95122502)}^{8} - 12 {(1.95122502)}^{4} + 3)}{{({(1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.1

Multiplica $4$ por $1.95122502$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{7.80490009 ({1.95122502}^{8} - 12 \cdot {1.95122502}^{4} + 3)}{{({1.95122502}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 10.2.1.2

Multiplica $7.80490009$ por ${1.95122502}^{8} - 12 \cdot {1.95122502}^{4} + 3$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{{({1.95122502}^{4} + 1)}^{3}}$

Paso 10.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Eleva $1.95122502$ a la potencia de $4$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{{(14.49537411 + 1)}^{3}}$

Paso 10.2.2.2

Suma $14.49537411$ y $1$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{{15.49537411}^{3}}$

Paso 10.2.2.3

Eleva $15.49537411$ a la potencia de $3$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{3720.54188869}$

Paso 10.2.3

Divide $305.72871822$ por $3720.54188869$ .

$f'' (1.95122502) = 0.08217316$

Paso 10.2.4

La respuesta final es $0.08217316$ .

$0.08217316$

Paso 10.3

En $1.95122502$ , la segunda derivada es $0.08217316$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(1.85122502, \infty)$ .

Incremento en $(1.85122502, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 11

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 1.85122502, - 0.99559497), (- 0.7109206, - 0.57239819), (0, 0), (0.7109206, 0.57239819), (1.85122502, 0.99559497)$ .

$(- 1.85122502, - 0.99559497), (- 0.7109206, - 0.57239819), (0, 0), (0.7109206, 0.57239819), (1.85122502, 0.99559497)$

Paso 12