Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{- 7 x}{5 x^{2} + 4}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [- \frac{7 x}{5 x^{2} + 4}]$

Paso 1.1.1.2

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{7 x}{5 x^{2} + 4}$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 x^{2} + 4}]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 x^{2} + 4}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 5 x^{2} + 4$ .

$- 7 \frac{(5 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4]}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 7 \frac{(5 x^{2} + 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4]}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $5 x^{2} + 4$ por $1$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4]}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - x (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - x (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - x (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6

Multiplica $2$ por $5$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - x (10 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.7

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - x (10 x + 0)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.8.1

Suma $10 x$ y $0$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - x (10 x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.8.2

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - 10 x \cdot x}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - 10 (x^{1} x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - 10 (x^{1} x^{1})}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - 10 x^{1 + 1}}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.7

Suma $1$ y $1$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - 10 x^{2}}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.8

Resta $10 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$- 7 \frac{- 5 x^{2} + 4}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.9

Combina $- 7$ y $\frac{- 5 x^{2} + 4}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{- 7 (- 5 x^{2} + 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{7 (- 5 x^{2} + 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.11

Simplifica.

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Paso 1.1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{7 (- 5 x^{2}) + 7 \cdot 4}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.11.2.1

Multiplica $- 5$ por $7$ .

$- \frac{- 35 x^{2} + 7 \cdot 4}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.11.2.2

Multiplica $7$ por $4$ .

$- \frac{- 35 x^{2} + 28}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.11.3

Factoriza $7$ de $- 35 x^{2} + 28$ .

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Paso 1.1.11.3.1

Factoriza $7$ de $- 35 x^{2}$ .

$- \frac{7 (- 5 x^{2}) + 28}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.11.3.2

Factoriza $7$ de $28$ .

$- \frac{7 (- 5 x^{2}) + 7 (4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.11.3.3

Factoriza $7$ de $7 (- 5 x^{2}) + 7 (4)$ .

$- \frac{7 (- 5 x^{2} + 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.11.4

Factoriza $- 1$ de $- 5 x^{2}$ .

$- \frac{7 (- (5 x^{2}) + 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.11.5

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$- \frac{7 (- (5 x^{2}) - 1 (- 4))}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.11.6

Factoriza $- 1$ de $- (5 x^{2}) - 1 (- 4)$ .

$- \frac{7 (- (5 x^{2} - 4))}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.11.7

Reescribe $- (5 x^{2} - 4)$ como $- 1 (5 x^{2} - 4)$ .

$- \frac{7 (- 1 (5 x^{2} - 4))}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.11.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{7 (5 x^{2} - 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.11.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{7 (5 x^{2} - 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.11.10

Multiplica $\frac{7 (5 x^{2} - 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{7 (5 x^{2} - 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{7 (5 x^{2} - 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} - 4}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} - 4}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}]$

Paso 1.2.2

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4] - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{({(5 x^{2} + 4)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.3

Diferencia.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(5 x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4] - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4] - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.3.5

Multiplica $2$ por $5$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} (10 x + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.3.6

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} (10 x + 0) - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.3.7.1

Suma $10 x$ y $0$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} (10 x) - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.3.7.2

Mueve $10$ a la izquierda de ${(5 x^{2} + 4)}^{2}$ .

$7 \frac{10 \cdot {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 5 x^{2} + 4$ .

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Paso 1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x^{2} + 4$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - (5 x^{2} - 4) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - (5 x^{2} - 4) (2 u \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x^{2} + 4$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - (5 x^{2} - 4) (2 (5 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.5

Diferencia.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.5.5

Multiplica $2$ por $5$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) (10 x + \frac{d}{d x} [4]))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.5.6

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) (10 x + 0))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.5.7

Combina fracciones.

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Paso 1.2.5.7.1

Suma $10 x$ y $0$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) (10 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.5.7.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.5.7.2.1

Mueve $10$ a la izquierda de $5 x^{2} + 4$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) (10 \cdot (5 x^{2} + 4) x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.5.7.2.2

Multiplica $10$ por $- 2$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 20 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.5.7.3

Combina $7$ y $\frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 20 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$ .

$\frac{7 (10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 20 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6

Simplifica.

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Paso 1.2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 (10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) ((5 x^{2} + 4) x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 (10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 (10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.6.4.1.1

Reescribe ${(5 x^{2} + 4)}^{2}$ como $(5 x^{2} + 4) (5 x^{2} + 4)$ .

$\frac{7 (10 ((5 x^{2} + 4) (5 x^{2} + 4)) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.2

Expande $(5 x^{2} + 4) (5 x^{2} + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.6.4.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 (10 (5 x^{2} (5 x^{2} + 4) + 4 (5 x^{2} + 4)) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 (10 (5 x^{2} (5 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 4 + 4 (5 x^{2} + 4)) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 (10 (5 x^{2} (5 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 4 + 4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.6.4.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.6.4.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{7 (10 (5 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 5 x^{2} \cdot 4 + 4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.6.4.1.3.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{7 (10 (5 \cdot 5 (x^{2} x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 4 + 4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{7 (10 (5 \cdot 5 x^{2 + 2} + 5 x^{2} \cdot 4 + 4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.3.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{7 (10 (5 \cdot 5 x^{4} + 5 x^{2} \cdot 4 + 4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.3.1.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{7 (10 (25 x^{4} + 5 x^{2} \cdot 4 + 4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.3.1.4

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{7 (10 (25 x^{4} + 20 x^{2} + 4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.3.1.5

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{7 (10 (25 x^{4} + 20 x^{2} + 20 x^{2} + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.3.1.6

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{7 (10 (25 x^{4} + 20 x^{2} + 20 x^{2} + 16) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.3.2

Suma $20 x^{2}$ y $20 x^{2}$ .

$\frac{7 (10 (25 x^{4} + 40 x^{2} + 16) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 ((10 (25 x^{4}) + 10 (40 x^{2}) + 10 \cdot 16) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.5

Simplifica.

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Paso 1.2.6.4.1.5.1

Multiplica $25$ por $10$ .

$\frac{7 ((250 x^{4} + 10 (40 x^{2}) + 10 \cdot 16) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.5.2

Multiplica $40$ por $10$ .

$\frac{7 ((250 x^{4} + 400 x^{2} + 10 \cdot 16) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.5.3

Multiplica $10$ por $16$ .

$\frac{7 ((250 x^{4} + 400 x^{2} + 160) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 (250 x^{4} x + 400 x^{2} x + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.4.1.7.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.4.1.7.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{7 (250 (x \cdot x^{4}) + 400 x^{2} x + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.7.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.4.1.7.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{7 (250 (x^{1} x^{4}) + 400 x^{2} x + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.7.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{7 (250 x^{1 + 4} + 400 x^{2} x + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.7.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{7 (250 x^{5} + 400 x^{2} x + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.7.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.4.1.7.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{7 (250 x^{5} + 400 (x \cdot x^{2}) + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.7.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.4.1.7.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{7 (250 x^{5} + 400 (x^{1} x^{2}) + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.7.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{7 (250 x^{5} + 400 x^{1 + 2} + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.7.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{7 (250 x^{5} + 400 x^{3} + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 (250 x^{5}) + 7 (400 x^{3}) + 7 (160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.4.1.9.1

Multiplica $250$ por $7$ .

$\frac{1750 x^{5} + 7 (400 x^{3}) + 7 (160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.9.2

Multiplica $400$ por $7$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 7 (160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.9.3

Multiplica $160$ por $7$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.10

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.4.1.10.1

Multiplica $5$ por $- 20$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 ((- 100 x^{2} - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.10.2

Multiplica $- 20$ por $- 4$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 ((- 100 x^{2} + 80) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.11

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.4.1.11.1

Mueve $x$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 ((- 100 x^{2} + 80) (5 (x \cdot x^{2}) + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.11.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.4.1.11.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 ((- 100 x^{2} + 80) (5 (x^{1} x^{2}) + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.11.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 ((- 100 x^{2} + 80) (5 x^{1 + 2} + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.11.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 ((- 100 x^{2} + 80) (5 x^{3} + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.12

Expande $(- 100 x^{2} + 80) (5 x^{3} + 4 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.4.1.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 100 x^{2} (5 x^{3} + 4 x) + 80 (5 x^{3} + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 100 x^{2} (5 x^{3}) - 100 x^{2} (4 x) + 80 (5 x^{3} + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 100 x^{2} (5 x^{3}) - 100 x^{2} (4 x) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.13

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.4.1.13.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.4.1.13.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 100 \cdot 5 x^{2} x^{3} - 100 x^{2} (4 x) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.13.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.4.1.13.1.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 100 \cdot 5 (x^{3} x^{2}) - 100 x^{2} (4 x) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.13.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 100 \cdot 5 x^{3 + 2} - 100 x^{2} (4 x) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.13.1.2.3

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 100 \cdot 5 x^{5} - 100 x^{2} (4 x) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.13.1.3

Multiplica $- 100$ por $5$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 100 x^{2} (4 x) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.13.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 100 \cdot 4 x^{2} x + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.13.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.4.1.13.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 100 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.13.1.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.4.1.13.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 100 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.13.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 100 \cdot 4 x^{1 + 2} + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.13.1.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 100 \cdot 4 x^{3} + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.13.1.6

Multiplica $- 100$ por $4$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 400 x^{3} + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.13.1.7

Multiplica $5$ por $80$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 400 x^{3} + 400 x^{3} + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.13.1.8

Multiplica $4$ por $80$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 400 x^{3} + 400 x^{3} + 320 x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.13.2

Suma $- 400 x^{3}$ y $400 x^{3}$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} + 0 + 320 x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.13.3

Suma $- 500 x^{5}$ y $0$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} + 320 x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.14

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5}) + 7 (320 x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.15

Multiplica $- 500$ por $7$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x - 3500 x^{5} + 7 (320 x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.1.16

Multiplica $320$ por $7$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x - 3500 x^{5} + 2240 x}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.2

Resta $3500 x^{5}$ de $1750 x^{5}$ .

$\frac{- 1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 2240 x}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.4.3

Suma $1120 x$ y $2240 x$ .

$\frac{- 1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 3360 x}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.5.1

Factoriza $70 x$ de $- 1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 3360 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.5.1.1

Factoriza $70 x$ de $- 1750 x^{5}$ .

$\frac{70 x (- 25 x^{4}) + 2800 x^{3} + 3360 x}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.5.1.2

Factoriza $70 x$ de $2800 x^{3}$ .

$\frac{70 x (- 25 x^{4}) + 70 x (40 x^{2}) + 3360 x}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.5.1.3

Factoriza $70 x$ de $3360 x$ .

$\frac{70 x (- 25 x^{4}) + 70 x (40 x^{2}) + 70 x (48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.5.1.4

Factoriza $70 x$ de $70 x (- 25 x^{4}) + 70 x (40 x^{2})$ .

$\frac{70 x (- 25 x^{4} + 40 x^{2}) + 70 x (48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.5.1.5

Factoriza $70 x$ de $70 x (- 25 x^{4} + 40 x^{2}) + 70 x (48)$ .

$\frac{70 x (- 25 x^{4} + 40 x^{2} + 48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.5.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{70 x (- 25 {(x^{2})}^{2} + 40 x^{2} + 48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.5.3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$\frac{70 x (- 25 u^{2} + 40 u + 48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.5.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.6.5.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 25 \cdot 48 = - 1200$ y cuya suma es $b = 40$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.5.4.1.1

Factoriza $40$ de $40 u$ .

$\frac{70 x (- 25 u^{2} + 40 (u) + 48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.5.4.1.2

Reescribe $40$ como $- 20$ más $60$

$\frac{70 x (- 25 u^{2} + (- 20 + 60) u + 48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.5.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{70 x (- 25 u^{2} - 20 u + 60 u + 48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.5.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.6.5.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{70 x ((- 25 u^{2} - 20 u) + 60 u + 48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.5.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{70 x (5 u (- 5 u - 4) - 12 (- 5 u - 4))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.5.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 5 u - 4$ .

$\frac{70 x ((- 5 u - 4) (5 u - 12))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.5.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{70 x (- 5 x^{2} - 4) (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.6

Cancela el factor común de $- 5 x^{2} - 4$ y ${(5 x^{2} + 4)}^{4}$ .

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Paso 1.2.6.6.1

Factoriza $- 1$ de $- 5 x^{2}$ .

$\frac{70 x (- (5 x^{2}) - 4) (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.6.2

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$\frac{70 x (- (5 x^{2}) - 1 (4)) (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.6.3

Factoriza $- 1$ de $- (5 x^{2}) - 1 (4)$ .

$\frac{70 x (- (5 x^{2} + 4)) (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.6.4

Reescribe $- (5 x^{2} + 4)$ como $- 1 (5 x^{2} + 4)$ .

$\frac{70 x (- 1 (5 x^{2} + 4)) (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.6.5

Factoriza $5 x^{2} + 4$ de $70 x (- 1 (5 x^{2} + 4)) (5 x^{2} - 12)$ .

$\frac{(5 x^{2} + 4) (70 x \cdot (- 1) (5 x^{2} - 12))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6.6.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.6.6.6.1

Factoriza $5 x^{2} + 4$ de ${(5 x^{2} + 4)}^{4}$ .

$\frac{(5 x^{2} + 4) (70 x \cdot (- 1) (5 x^{2} - 12))}{(5 x^{2} + 4) {(5 x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.6.6.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(5 x^{2} + 4) (70 x \cdot (- 1) (5 x^{2} - 12))}{(5 x^{2} + 4) {(5 x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.6.6.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{70 x \cdot (- 1) (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.6.7

Multiplica $- 1$ por $70$ .

$\frac{- 70 x (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.6.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{70 x (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{70 x (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{70 x (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{70 x (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{3}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{70 x (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{3}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$70 x (5 x^{2} - 12) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$5 x^{2} - 12 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.3.3

Establece $5 x^{2} - 12$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Establece $5 x^{2} - 12$ igual a $0$ .

$5 x^{2} - 12 = 0$

Paso 2.3.3.2

Resuelve $5 x^{2} - 12 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.1

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x^{2} = 12$

Paso 2.3.3.2.2

Divide cada término en $5 x^{2} = 12$ por $5$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.2.1

Divide cada término en $5 x^{2} = 12$ por $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{12}{5}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{12}{5}$

Paso 2.3.3.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{5}$

Paso 2.3.3.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{12}{5}}$

Paso 2.3.3.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{12}{5}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{12}{5}}$ como $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$

Paso 2.3.3.2.4.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.4.2.1

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.4.2.1.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4 (3)}}{\sqrt{5}}$

Paso 2.3.3.2.4.2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Paso 2.3.3.2.4.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Paso 2.3.3.2.4.3

Multiplica $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 2.3.3.2.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.3.2.4.4.1

Multiplica $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 2.3.3.2.4.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 2.3.3.2.4.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 2.3.3.2.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 2.3.3.2.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 2.3.3.2.4.4.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.3.3.2.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.3.2.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.3.2.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.3.2.4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.2.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.3.2.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 2.3.3.2.4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

Paso 2.3.3.2.4.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.4.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5 \cdot 3}}{5}$

Paso 2.3.3.2.4.5.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Paso 2.3.3.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.3.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Paso 2.3.3.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Paso 2.3.3.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $70 x (5 x^{2} - 12) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{- 7 x}{5 x^{2} + 4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{- 7 \cdot 0}{5 {(0)}^{2} + 4}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Multiplica $- 7$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0}{5 \cdot 0^{2} + 4}$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{0}{5 \cdot 0 + 4}$

Paso 3.1.2.2.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 4}$

Paso 3.1.2.2.3

Suma $0$ y $4$ .

$f (0) = \frac{0}{4}$

Paso 3.1.2.3

Divide $0$ por $4$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.1.2.4

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{- 7 x}{5 x^{2} + 4}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 3.3

Sustituye $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ en $f (x) = \frac{- 7 x}{5 x^{2} + 4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ en la expresión.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 7 \frac{2 \sqrt{15}}{5}}{5 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Combina $- 7$ y $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{{(2 \sqrt{15})}^{2}}{5^{2}}) + 4}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{15}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{2^{2} {\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}}) + 4}$

Paso 3.3.2.2.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 {\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}}) + 4}$

Paso 3.3.2.2.2.2

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}) + 4}$

Paso 3.3.2.2.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}) + 4}$

Paso 3.3.2.2.2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}) + 4}$

Paso 3.3.2.2.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.2.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}) + 4}$

Paso 3.3.2.2.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15}{5^{2}}) + 4}$

Paso 3.3.2.2.2.2.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15}{5^{2}}) + 4}$

Paso 3.3.2.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15}{25}) + 4}$

Paso 3.3.2.2.4

Multiplica $4$ por $15$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{60}{25}) + 4}$

Paso 3.3.2.2.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.2.2.5.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{60}{5 (5)}) + 4}$

Paso 3.3.2.2.5.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{60}{5 \cdot 5}) + 4}$

Paso 3.3.2.2.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{\frac{60}{5} + 4}$

Paso 3.3.2.2.6

Divide $60$ por $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{12 + 4}$

Paso 3.3.2.2.7

Suma $12$ y $4$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{16}$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 14 \sqrt{15}}{5}}{16}$

Paso 3.3.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- \frac{14 \sqrt{15}}{5}}{16}$

Paso 3.3.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{14 \sqrt{15}}{5} \cdot \frac{1}{16}$

Paso 3.3.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{14 \sqrt{15}}{5}$ al numerador.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 14 \sqrt{15}}{5} \cdot \frac{1}{16}$

Paso 3.3.2.6.2

Factoriza $2$ de $- 14 \sqrt{15}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{2 (- 7 \sqrt{15})}{5} \cdot \frac{1}{16}$

Paso 3.3.2.6.3

Factoriza $2$ de $16$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{2 (- 7 \sqrt{15})}{5} \cdot \frac{1}{2 (8)}$

Paso 3.3.2.6.4

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{2 (- 7 \sqrt{15})}{5} \cdot \frac{1}{2 \cdot 8}$

Paso 3.3.2.6.5

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 7 \sqrt{15}}{5} \cdot \frac{1}{8}$

Paso 3.3.2.7

Multiplica $\frac{- 7 \sqrt{15}}{5}$ por $\frac{1}{8}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 7 \sqrt{15}}{5 \cdot 8}$

Paso 3.3.2.8

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.8.1

Multiplica $5$ por $8$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 7 \sqrt{15}}{40}$

Paso 3.3.2.8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{7 \sqrt{15}}{40}$

Paso 3.3.2.9

La respuesta final es $- \frac{7 \sqrt{15}}{40}$ .

$- \frac{7 \sqrt{15}}{40}$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ en $f (x) = \frac{- 7 x}{5 x^{2} + 4}$ es $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{7 \sqrt{15}}{40})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{7 \sqrt{15}}{40})$

Paso 3.5

Sustituye $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ en $f (x) = \frac{- 7 x}{5 x^{2} + 4}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ en la expresión.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 7 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}{5 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{2} + 4}$

Paso 3.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{7 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})}{5 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{2} + 4}$

Paso 3.5.2.1.2

Combina $7$ y $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{2} + 4}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{2}) + 4}$

Paso 3.5.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(2 \sqrt{15})}^{2}}{5^{2}})) + 4}$

Paso 3.5.2.2.1.3

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{15}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2} {\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}})) + 4}$

Paso 3.5.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (1 (\frac{2^{2} {\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}})) + 4}$

Paso 3.5.2.2.3

Multiplica $\frac{2^{2} {\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{2^{2} {\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}}) + 4}$

Paso 3.5.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.2.2.4.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 {\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}}) + 4}$

Paso 3.5.2.2.4.2

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Paso 3.5.2.2.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}) + 4}$

Paso 3.5.2.2.4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}) + 4}$

Paso 3.5.2.2.4.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}) + 4}$

Paso 3.5.2.2.4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.2.4.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}) + 4}$

Paso 3.5.2.2.4.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15}{5^{2}}) + 4}$

Paso 3.5.2.2.4.2.5

Evalúa el exponente.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15}{5^{2}}) + 4}$

Paso 3.5.2.2.5

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15}{25}) + 4}$

Paso 3.5.2.2.6

Multiplica $4$ por $15$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{60}{25}) + 4}$

Paso 3.5.2.2.7

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.2.7.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{60}{5 (5)}) + 4}$

Paso 3.5.2.2.7.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{60}{5 \cdot 5}) + 4}$

Paso 3.5.2.2.7.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{\frac{60}{5} + 4}$

Paso 3.5.2.2.8

Divide $60$ por $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{12 + 4}$

Paso 3.5.2.2.9

Suma $12$ y $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{16}$

Paso 3.5.2.3

Multiplica $7$ por $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{14 \sqrt{15}}{5}}{16}$

Paso 3.5.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{14 \sqrt{15}}{5} \cdot \frac{1}{16}$

Paso 3.5.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.5.1

Factoriza $2$ de $14 \sqrt{15}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{2 (7 \sqrt{15})}{5} \cdot \frac{1}{16}$

Paso 3.5.2.5.2

Factoriza $2$ de $16$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{2 (7 \sqrt{15})}{5} \cdot \frac{1}{2 (8)}$

Paso 3.5.2.5.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{2 (7 \sqrt{15})}{5} \cdot \frac{1}{2 \cdot 8}$

Paso 3.5.2.5.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{7 \sqrt{15}}{5} \cdot \frac{1}{8}$

Paso 3.5.2.6

Multiplica $\frac{7 \sqrt{15}}{5}$ por $\frac{1}{8}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{7 \sqrt{15}}{5 \cdot 8}$

Paso 3.5.2.7

Multiplica $5$ por $8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{7 \sqrt{15}}{40}$

Paso 3.5.2.8

La respuesta final es $\frac{7 \sqrt{15}}{40}$ .

$\frac{7 \sqrt{15}}{40}$

Paso 3.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ en $f (x) = \frac{- 7 x}{5 x^{2} + 4}$ es $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{7 \sqrt{15}}{40})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{7 \sqrt{15}}{40})$

Paso 3.7

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{7 \sqrt{15}}{40}), (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{7 \sqrt{15}}{40})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}) \cup (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0) \cup (0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}) \cup (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.64919333$ en la expresión.

$f'' (- 1.64919333) = - \frac{70 (- 1.64919333) (5 {(- 1.64919333)}^{2} - 12)}{{(5 {(- 1.64919333)}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Multiplica $70$ por $- 1.64919333$ .

$f'' (- 1.64919333) = - \frac{- 115.44353369 (5 {(- 1.64919333)}^{2} - 12)}{{(5 {(- 1.64919333)}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 115.44353369$ por $5 {(- 1.64919333)}^{2} - 12$ .

$f'' (- 1.64919333) = - \frac{- 184.61653005}{{(5 {(- 1.64919333)}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Eleva $- 1.64919333$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.64919333) = - \frac{- 184.61653005}{{(5 \cdot 2.71983866 + 4)}^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $5$ por $2.71983866$ .

$f'' (- 1.64919333) = - \frac{- 184.61653005}{{(13.59919333 + 4)}^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Suma $13.59919333$ y $4$ .

$f'' (- 1.64919333) = - \frac{- 184.61653005}{{17.59919333}^{3}}$

Paso 5.2.2.4

Eleva $17.59919333$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1.64919333) = - \frac{- 184.61653005}{5451.02641994}$

Paso 5.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.3.1

Divide $- 184.61653005$ por $5451.02641994$ .

$f'' (- 1.64919333) = 0.03386821$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 0.03386821$ .

$f'' (- 1.64919333) = 0.03386821$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $0.03386821$ .

$0.03386821$

Paso 5.3

En $- 1.64919333$ , la segunda derivada es $0.03386821$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ .

Incremento en $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.77459666$ en la expresión.

$f'' (- 0.77459666) = - \frac{70 (- 0.77459666) (5 {(- 0.77459666)}^{2} - 12)}{{(5 {(- 0.77459666)}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Multiplica $70$ por $- 0.77459666$ .

$f'' (- 0.77459666) = - \frac{- 54.22176684 (5 {(- 0.77459666)}^{2} - 12)}{{(5 {(- 0.77459666)}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 54.22176684$ por $5 {(- 0.77459666)}^{2} - 12$ .

$f'' (- 0.77459666) = - \frac{487.99590162}{{(5 {(- 0.77459666)}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $- 0.77459666$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.77459666) = - \frac{487.99590162}{{(5 \cdot 0.6 + 4)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $5$ por $0.6$ .

$f'' (- 0.77459666) = - \frac{487.99590162}{{(3 + 4)}^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Suma $3$ y $4$ .

$f'' (- 0.77459666) = - \frac{487.99590162}{7^{3}}$

Paso 6.2.2.4

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.77459666) = - \frac{487.99590162}{343}$

Paso 6.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.3.1

Divide $487.99590162$ por $343$ .

$f'' (- 0.77459666) = - 1 \cdot 1.42272857$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $1.42272857$ .

$f'' (- 0.77459666) = - 1.42272857$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- 1.42272857$ .

$- 1.42272857$

Paso 6.3

En $- 0.77459666$ , la segunda derivada es $- 1.42272857$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.77459666$ en la expresión.

$f'' (0.77459666) = - \frac{70 (0.77459666) (5 {(0.77459666)}^{2} - 12)}{{(5 {(0.77459666)}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Multiplica $70$ por $0.77459666$ .

$f'' (0.77459666) = - \frac{54.22176684 (5 \cdot {0.77459666}^{2} - 12)}{{(5 \cdot {0.77459666}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $54.22176684$ por $5 \cdot {0.77459666}^{2} - 12$ .

$f'' (0.77459666) = - \frac{- 487.99590162}{{(5 \cdot {0.77459666}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Eleva $0.77459666$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.77459666) = - \frac{- 487.99590162}{{(5 \cdot 0.6 + 4)}^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $5$ por $0.6$ .

$f'' (0.77459666) = - \frac{- 487.99590162}{{(3 + 4)}^{3}}$

Paso 7.2.2.3

Suma $3$ y $4$ .

$f'' (0.77459666) = - \frac{- 487.99590162}{7^{3}}$

Paso 7.2.2.4

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.77459666) = - \frac{- 487.99590162}{343}$

Paso 7.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Divide $- 487.99590162$ por $343$ .

$f'' (0.77459666) = 1.42272857$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1.42272857$ .

$f'' (0.77459666) = 1.42272857$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $1.42272857$ .

$1.42272857$

Paso 7.3

En $0.77459666$ , la segunda derivada es $1.42272857$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ .

Incremento en $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.64919333$ en la expresión.

$f'' (1.64919333) = - \frac{70 (1.64919333) (5 {(1.64919333)}^{2} - 12)}{{(5 {(1.64919333)}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Multiplica $70$ por $1.64919333$ .

$f'' (1.64919333) = - \frac{115.44353369 (5 \cdot {1.64919333}^{2} - 12)}{{(5 \cdot {1.64919333}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $115.44353369$ por $5 \cdot {1.64919333}^{2} - 12$ .

$f'' (1.64919333) = - \frac{184.61653005}{{(5 \cdot {1.64919333}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Eleva $1.64919333$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.64919333) = - \frac{184.61653005}{{(5 \cdot 2.71983866 + 4)}^{3}}$

Paso 8.2.2.2

Multiplica $5$ por $2.71983866$ .

$f'' (1.64919333) = - \frac{184.61653005}{{(13.59919333 + 4)}^{3}}$

Paso 8.2.2.3

Suma $13.59919333$ y $4$ .

$f'' (1.64919333) = - \frac{184.61653005}{{17.59919333}^{3}}$

Paso 8.2.2.4

Eleva $17.59919333$ a la potencia de $3$ .

$f'' (1.64919333) = - \frac{184.61653005}{5451.02641994}$

Paso 8.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.3.1

Divide $184.61653005$ por $5451.02641994$ .

$f'' (1.64919333) = - 1 \cdot 0.03386821$

Paso 8.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $0.03386821$ .

$f'' (1.64919333) = - 0.03386821$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $- 0.03386821$ .

$- 0.03386821$

Paso 8.3

En $1.64919333$ , la segunda derivada es $- 0.03386821$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{7 \sqrt{15}}{40}), (0, 0), (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{7 \sqrt{15}}{40})$ .

$(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{7 \sqrt{15}}{40}), (0, 0), (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{7 \sqrt{15}}{40})$

Paso 10