Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ ; $(4, \frac{5}{2})$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $\sqrt{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$f (x) - \sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Paso 1.2

Resta $\frac{1}{\sqrt{x}}$ de ambos lados de la ecuación.

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f (x) - \sqrt{x} - (\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}) = 0$

Paso 2.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}} = 0$

Paso 2.2.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}} = 0$

Paso 2.2.3

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}} = 0$

Paso 2.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}} = 0$

Paso 2.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}} = 0$

Paso 2.2.6

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 2.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 0$

Paso 2.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 0$

Paso 2.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} = 0$

Paso 2.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} = 0$

Paso 2.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{1}} = 0$

Paso 2.2.6.5

Simplifica.

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} = 0$

Paso 3

Obtén el valor de $m$ con la fórmula para la ecuación de una línea.

$y = m x + b$

Paso 4

Sustituye el valor de $b$ en la ecuación.

$y = m x + f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}$

Paso 5

Sustituye el valor de $x$ en la ecuación.

$y = m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4}$

Paso 6

Sustituye el valor de $y$ en la ecuación.

$\frac{5}{2} = m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4}$

Paso 7

Obtén el valor de $m$ .

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$ .

$m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Paso 7.2

Simplifica $m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4}$ .

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Mueve $4$ a la izquierda de $m$ .

$4 m + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Paso 7.2.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $f$ .

$4 m + 4 f - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Paso 7.2.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$4 m + 4 f - \sqrt{2^{2}} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Paso 7.2.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$4 m + 4 f - 1 \cdot 2 - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 m + 4 f - 2 - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Paso 7.2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$4 m + 4 f - 2 - \frac{\sqrt{2^{2}}}{4} = \frac{5}{2}$

Paso 7.2.1.6.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$4 m + 4 f - 2 - \frac{2}{4} = \frac{5}{2}$

Paso 7.2.1.7

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 7.2.1.7.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$4 m + 4 f - 2 - \frac{2 (1)}{4} = \frac{5}{2}$

Paso 7.2.1.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.1.7.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$4 m + 4 f - 2 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{5}{2}$

Paso 7.2.1.7.2.2

Cancela el factor común.

$4 m + 4 f - 2 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{5}{2}$

Paso 7.2.1.7.2.3

Reescribe la expresión.

$4 m + 4 f - 2 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 7.2.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$4 m + 4 f - 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 7.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$4 m + 4 f + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 7.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 m + 4 f + \frac{- 2 \cdot 2 - 1}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 7.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$4 m + 4 f + \frac{- 4 - 1}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 7.2.5.2

Resta $1$ de $- 4$ .

$4 m + 4 f + \frac{- 5}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 7.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 m + 4 f - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 7.3

Mueve todos los términos que no contengan $m$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.3.1

Resta $4 f$ de ambos lados de la ecuación.

$4 m - \frac{5}{2} = \frac{5}{2} - 4 f$

Paso 7.3.2

Suma $\frac{5}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$4 m = \frac{5}{2} - 4 f + \frac{5}{2}$

Paso 7.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 m = - 4 f + \frac{5 + 5}{2}$

Paso 7.3.4

Suma $5$ y $5$ .

$4 m = - 4 f + \frac{10}{2}$

Paso 7.3.5

Divide $10$ por $2$ .

$4 m = - 4 f + 5$

Paso 7.4

Divide cada término en $4 m = - 4 f + 5$ por $4$ y simplifica.

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Paso 7.4.1

Divide cada término en $4 m = - 4 f + 5$ por $4$ .

$\frac{4 m}{4} = \frac{- 4 f}{4} + \frac{5}{4}$

Paso 7.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.4.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 m}{4} = \frac{- 4 f}{4} + \frac{5}{4}$

Paso 7.4.2.1.2

Divide $m$ por $1$ .

$m = \frac{- 4 f}{4} + \frac{5}{4}$

Paso 7.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.3.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $4$ .

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Paso 7.4.3.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 f$ .

$m = \frac{4 (- f)}{4} + \frac{5}{4}$

Paso 7.4.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.4.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$m = \frac{4 (- f)}{4 (1)} + \frac{5}{4}$

Paso 7.4.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$m = \frac{4 (- f)}{4 \cdot 1} + \frac{5}{4}$

Paso 7.4.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$m = \frac{- f}{1} + \frac{5}{4}$

Paso 7.4.3.1.2.4

Divide $- f$ por $1$ .

$m = - f + \frac{5}{4}$

Paso 8

Ahora que se conocen los valores de $m$ (pendiente) y $b$ (intersección con y), sustitúyelos en $y = m x + b$ para obtener la ecuación de la línea.

$y = (- f + \frac{5}{4}) x + f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}$

Paso 9