Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x}$ , $(3, \sqrt{3})$

Paso 1

Comprueba si el punto dado está en la gráfica de la función dada.

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Paso 1.1

Evalúa $f (x) = \sqrt{x}$ en $x = 3$ .

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Paso 1.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \sqrt{3}$

Paso 1.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 1.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (3) = \sqrt{3}$

Paso 1.1.2.2

La respuesta final es $\sqrt{3}$ .

$\sqrt{3}$

Paso 1.2

Como $\sqrt{3} = \sqrt{3}$ , el punto está en la gráfica.

El punto está en la gráfica.

Paso 2

La pendiente de la tangente es la derivada de la expresión.

$m$ $=$ La derivada de $f (x) = \sqrt{x}$

Paso 3

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 4

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 4.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

Paso 4.1.2.2

La respuesta final es $\sqrt{x + h}$ .

$\sqrt{x + h}$

Paso 4.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

$f (x) = \sqrt{x}$

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

$f (x) = \sqrt{x}$

Paso 5

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - (\sqrt{x})}{h}$

Paso 6

Multiplica $- 1$ por $\sqrt{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$

Paso 7

Como no hay valores a la izquierda de $0$ en el dominio de $\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$ , el límite no existe.

$No existe$

Paso 8

Obtén la pendiente $m$ . En este caso, $m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$ .

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Paso 8.1

Multiplica $e$ por $3$ .

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))$

Paso 8.2

Elimina los paréntesis.

$m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$

Paso 9

La pendiente es $m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$ y el punto es $(3, \sqrt{3})$ .

$m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$

$m = (3, \sqrt{3})$

Paso 10

Multiplica $e$ por $3$ .

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))$

Paso 11

Obtén el valor de $b$ con la fórmula para la ecuación de una línea.

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Paso 11.1

Usa la fórmula para la ecuación de una línea para obtener $b$ .

$y = m x + b$

Paso 11.2

Sustituye el valor de $m$ en la ecuación.

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))) \cdot x + b$

Paso 11.3

Sustituye el valor de $x$ en la ecuación.

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))) \cdot (3) + b$

Paso 11.4

Sustituye el valor de $y$ en la ecuación.

$\sqrt{3} = (D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))) \cdot (3) + b$

Paso 11.5

Obtén el valor de $b$ .

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Paso 11.5.1

Reescribe la ecuación como $D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$ .

$D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Paso 11.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 11.5.2.1

Multiplica $o$ por $o$ sumando los exponentes.

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Paso 11.5.2.1.1

Mueve $o$ .

$D (o \cdot o) e s (n t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Paso 11.5.2.1.2

Multiplica $o$ por $o$ .

$D o^{2} e s (n t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Paso 11.5.2.2

Multiplica $s$ por $s$ sumando los exponentes.

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Paso 11.5.2.2.1

Mueve $s$ .

$D o^{2} e (s \cdot s) (n t) (e \cdot (3 i t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Paso 11.5.2.2.2

Multiplica $s$ por $s$ .

$D o^{2} e s^{2} (n t) (e \cdot (3 i t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Paso 11.5.2.3

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 11.5.2.3.1

Mueve $t$ .

$D o^{2} e s^{2} (n (t \cdot t)) (e \cdot (3 i)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Paso 11.5.2.3.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$D o^{2} e s^{2} (n t^{2}) (e \cdot (3 i)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Paso 11.5.2.4

Mueve $3$ a la izquierda de $e$ .

$D o^{2} e s^{2} n t^{2} (3 \cdot e i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Paso 11.5.2.5

Multiplica $D o^{2} e s^{2} n t^{2} (3 e i)$ .

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Paso 11.5.2.5.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 (e^{1} e) i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Paso 11.5.2.5.2

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 (e^{1} e^{1}) i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Paso 11.5.2.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 e^{1 + 1} i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Paso 11.5.2.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 e^{2} i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Paso 11.5.2.6

Mueve $3$ a la izquierda de $D o^{2} s^{2} n t^{2}$ .

$3 \cdot (D o^{2} s^{2} n t^{2}) e^{2} i \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Paso 11.5.2.7

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i + b = \sqrt{3}$

Paso 11.5.3

Resta $9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$ de ambos lados de la ecuación.

$b = \sqrt{3} - 9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

Paso 12

Ahora que se conocen los valores de $m$ (pendiente) y $b$ (intersección con y), sustitúyelos en $y = m x + b$ para obtener la ecuación de la línea.

$y = 3 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i x + \sqrt{3} - 9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

Paso 13