Cálculo Ejemplos

$f (x) = 7 x + 3$ ; $(1, 10)$

Paso 1

Comprueba si el punto dado está en la gráfica de la función dada.

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Paso 1.1

Evalúa $f (x) = 7 x + 3$ en $x = 1$ .

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Paso 1.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 7 (1) + 3$

Paso 1.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 1.1.2.1

Multiplica $7$ por $1$ .

$f (1) = 7 + 3$

Paso 1.1.2.2

Suma $7$ y $3$ .

$f (1) = 10$

Paso 1.1.2.3

La respuesta final es $10$ .

$10$

Paso 1.2

Como $10 = 10$ , el punto está en la gráfica.

El punto está en la gráfica.

Paso 2

La pendiente de la tangente es la derivada de la expresión.

$m$ $=$ La derivada de $f (x) = 7 x + 3$

Paso 3

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 4

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 4.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 7 (x + h) + 3$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 7 x + 7 h + 3$

Paso 4.1.2.2

La respuesta final es $7 x + 7 h + 3$ .

$7 x + 7 h + 3$

Paso 4.2

Reordena $7 x$ y $7 h$ .

$7 h + 7 x + 3$

Paso 4.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 7 h + 7 x + 3$

$f (x) = 7 x + 3$

$f (x + h) = 7 h + 7 x + 3$

$f (x) = 7 x + 3$

Paso 5

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - (7 x + 3)}{h}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - (7 x) - 1 \cdot 3}{h}$

Paso 6.1.2

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - 7 x - 1 \cdot 3}{h}$

Paso 6.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - 7 x - 3}{h}$

Paso 6.1.4

Resta $7 x$ de $7 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 0 + 3 - 3}{h}$

Paso 6.1.5

Suma $7 h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 3 - 3}{h}$

Paso 6.1.6

Resta $3$ de $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 0}{h}$

Paso 6.1.7

Suma $7 h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h}{h}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h}{h}$

Paso 6.2.2

Divide $7$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 7$

Paso 7

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$7$

Paso 8

La pendiente es y el punto es $(1, 10)$ .

$m = 7, (1, 10)$

Paso 9

Obtén el valor de $b$ con la fórmula para la ecuación de una línea.

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Paso 9.1

Usa la fórmula para la ecuación de una línea para obtener $b$ .

$y = m x + b$

Paso 9.2

Sustituye el valor de $m$ en la ecuación.

$y = (7) \cdot x + b$

Paso 9.3

Sustituye el valor de $x$ en la ecuación.

$y = (7) \cdot (1) + b$

Paso 9.4

Sustituye el valor de $y$ en la ecuación.

$10 = (7) \cdot (1) + b$

Paso 9.5

Obtén el valor de $b$ .

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Paso 9.5.1

Reescribe la ecuación como $(7) \cdot (1) + b = 10$ .

$(7) \cdot (1) + b = 10$

Paso 9.5.2

Multiplica $7$ por $1$ .

$7 + b = 10$

Paso 9.5.3

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.5.3.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$b = 10 - 7$

Paso 9.5.3.2

Resta $7$ de $10$ .

$b = 3$

Paso 10

Ahora que se conocen los valores de $m$ (pendiente) y $b$ (intersección con y), sustitúyelos en $y = m x + b$ para obtener la ecuación de la línea.

$y = 7 x + 3$

Paso 11