Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{2} - 5 \sqrt{x}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} - 5 \sqrt{x + h}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 2 ((x + h) (x + h)) - 5 \sqrt{x + h}$

Paso 2.1.2.1.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 2 (x (x + h) + h (x + h)) - 5 \sqrt{x + h}$

Paso 2.1.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 5 \sqrt{x + h}$

Paso 2.1.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 5 \sqrt{x + h}$

Paso 2.1.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 5 \sqrt{x + h}$

Paso 2.1.2.1.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 5 \sqrt{x + h}$

Paso 2.1.2.1.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.1.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 5 \sqrt{x + h}$

Paso 2.1.2.1.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 5 \sqrt{x + h}$

Paso 2.1.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} - 5 \sqrt{x + h}$

Paso 2.1.2.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 5 \sqrt{x + h}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 5 \sqrt{x + h}$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 5 \sqrt{x + h}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 5 \sqrt{h + x}$

Paso 2.2.2

Mueve $2 x^{2}$ .

$4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x}$

Paso 2.2.3

Reordena $4 h x$ y $2 h^{2}$ .

$2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x}$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x}$

$f (x) = 2 x^{2} - 5 \sqrt{x}$

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x}$

$f (x) = 2 x^{2} - 5 \sqrt{x}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x} - (2 x^{2} - 5 \sqrt{x})}{h}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x} - (2 x^{2}) - (- 5 \sqrt{x})}{h}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x} - 2 x^{2} - (- 5 \sqrt{x})}{h}$

Paso 4.3

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x} - 2 x^{2} + 5 \sqrt{x}}{h}$

Paso 4.4

Resta $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 0 - 5 \sqrt{h + x} + 5 \sqrt{x}}{h}$

Paso 4.5

Suma $2 h^{2}$ y $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 5 \sqrt{h + x} + 5 \sqrt{x}}{h}$

Paso 5