Cálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt{2 x^{2} - x + 10}}{5 x - 2}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{\sqrt{2 x^{2} - x + 10}}{5 x - 2}$ no está definida.

$x = \frac{2}{5}$

Paso 2

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 x^{2} - x + 10}}{5 x - 2}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 2.1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}}}}{\frac{5 x}{x} + \frac{- 2}{x}}$

Paso 2.2

Evalúa el límite.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}}}}{5 - \frac{2}{x}}$

Paso 2.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}}}}{5 - \frac{2}{x}}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}}}}{5 - \frac{2}{x}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}}}}{5 - \frac{2}{x}}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{10}{x^{2}}}}{5 - \frac{2}{x}}$

Paso 2.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{10}{x^{2}}}}{5 - \frac{2}{x}}$

Paso 2.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 + \frac{- 1}{x} + \frac{10}{x^{2}}}}{5 - \frac{2}{x}}$

Paso 2.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{10}{x^{2}}}}{5 - \frac{2}{x}}$

Paso 2.2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{2}{x}}$

Paso 2.2.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} + \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{2}{x}}$

Paso 2.2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{2}{x}}$

Paso 2.2.6

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{2}{x}}$

Paso 2.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{2 - 0 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{2}{x}}$

Paso 2.4

Mueve el término $10$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{2 - 0 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{2}{x}}$

Paso 2.5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{2 - 0 + 10 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{2}{x}}$

Paso 2.6

Evalúa el límite.

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Paso 2.6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{2 - 0 + 10 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

Paso 2.6.2

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{2 - 0 + 10 \cdot 0}}{5 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

Paso 2.6.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{2 - 0 + 10 \cdot 0}}{5 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{2 - 0 + 10 \cdot 0}}{5 - 2 \cdot 0}$

Paso 2.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0 + 10 \cdot 0}}{5 - 2 \cdot 0}$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $10$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0 + 0}}{5 - 2 \cdot 0}$

Paso 2.8.1.3

Suma $2 + 0$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{5 - 2 \cdot 0}$

Paso 2.8.1.4

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{5 - 2 \cdot 0}$

Paso 2.8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.8.2.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{5 + 0}$

Paso 2.8.2.2

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{5}$

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2 x^{2} - x + 10}}{5 x - 2}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 3.1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}}}}{\frac{5 x}{x} + \frac{- 2}{x}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}}}}{5 - \frac{2}{x}}$

Paso 3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}}}}{5 - \frac{2}{x}}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{2 + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}}}}{5 - \frac{2}{x}}$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 3.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}}}}{5 - \frac{2}{x}}$

Paso 3.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{10}{x^{2}}}}{5 - \frac{2}{x}}$

Paso 3.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{10}{x^{2}}}}{5 - \frac{2}{x}}$

Paso 3.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{2 + \frac{- 1}{x} + \frac{10}{x^{2}}}}{5 - \frac{2}{x}}$

Paso 3.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{10}{x^{2}}}}{5 - \frac{2}{x}}$

Paso 3.2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 5 - \frac{2}{x}}$

Paso 3.2.4

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 5 - \frac{2}{x}}$

Paso 3.2.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{1}{x} + \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 5 - \frac{2}{x}}$

Paso 3.2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 2 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 5 - \frac{2}{x}}$

Paso 3.2.7

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{2 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 5 - \frac{2}{x}}$

Paso 3.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- \sqrt{2 - 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 5 - \frac{2}{x}}$

Paso 3.4

Mueve el término $10$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- \sqrt{2 - 0 + 10 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 5 - \frac{2}{x}}$

Paso 3.5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- \sqrt{2 - 0 + 10 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 5 - \frac{2}{x}}$

Paso 3.6

Evalúa el límite.

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Paso 3.6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{2 - 0 + 10 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}$

Paso 3.6.2

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{2 - 0 + 10 \cdot 0}}{5 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}$

Paso 3.6.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- \sqrt{2 - 0 + 10 \cdot 0}}{5 - 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 3.7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- \sqrt{2 - 0 + 10 \cdot 0}}{5 - 2 \cdot 0}$

Paso 3.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{- \sqrt{2 + 0 + 10 \cdot 0}}{5 - 2 \cdot 0}$

Paso 3.8.1.2

Multiplica $10$ por $0$ .

$\frac{- \sqrt{2 + 0 + 0}}{5 - 2 \cdot 0}$

Paso 3.8.1.3

Suma $2 + 0$ y $0$ .

$\frac{- \sqrt{2 + 0}}{5 - 2 \cdot 0}$

Paso 3.8.1.4

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{- \sqrt{2}}{5 - 2 \cdot 0}$

Paso 3.8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.8.2.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{- \sqrt{2}}{5 + 0}$

Paso 3.8.2.2

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{- \sqrt{2}}{5}$

Paso 3.8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\sqrt{2}}{5}$

Paso 4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = \frac{\sqrt{2}}{5}, - \frac{\sqrt{2}}{5}$

Paso 5

Usa la división polinómica para obtener las asíntotas oblicuas. Como esta expresión contiene un radical, la división polinómica no se puede hacer.

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = \frac{2}{5}$

Asíntotas horizontales: $y = \frac{\sqrt{2}}{5}, - \frac{\sqrt{2}}{5}$

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 7