Cálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5} - 4}{x - 1}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5} - 4}{x - 1}$ no está definida.

$x = 1$

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5} - 4}{x - 1}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 3.1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite.

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Paso 3.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

Paso 3.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $9$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Paso 3.2.2.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Paso 3.2.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Paso 3.2.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Paso 3.2.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Paso 3.2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 3.2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 3.2.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 3.2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 3.2.7

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 3.2.8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 3.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 3.4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 3.5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 3.6

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 3.7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 3.8

Evalúa el límite.

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Paso 3.8.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 3.8.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 3.9

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Paso 3.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Paso 3.10.1.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0 + 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Paso 3.10.1.3

Suma $9 + 0$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Paso 3.10.1.4

Suma $9$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{9} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Paso 3.10.1.5

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Paso 3.10.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3 - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Paso 3.10.1.7

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$\frac{3 + 0}{1 - 0}$

Paso 3.10.1.8

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{3}{1 - 0}$

Paso 3.10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.10.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{3}{1 + 0}$

Paso 3.10.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{3}{1}$

Paso 3.10.3

Divide $3$ por $1$ .

$3$

Paso 4

Evalúa $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5} - 4}{x - 1}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 4.1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

Paso 4.2

Evalúa el límite.

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Paso 4.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

Paso 4.2.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $9$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.2.2.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.2.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.2.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.2.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.2.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 9 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.2.7

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{9 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.2.8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.6

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.8

Evalúa el límite.

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Paso 4.8.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 4.8.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 4.9

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Paso 4.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.10.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Paso 4.10.1.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 0 + 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Paso 4.10.1.3

Suma $9 + 0$ y $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Paso 4.10.1.4

Suma $9$ y $0$ .

$\frac{- \sqrt{9} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Paso 4.10.1.5

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{- \sqrt{3^{2}} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Paso 4.10.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{- 1 \cdot 3 - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Paso 4.10.1.7

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Paso 4.10.1.8

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{1 - 0}$

Paso 4.10.1.9

Suma $- 3$ y $0$ .

$\frac{- 3}{1 - 0}$

Paso 4.10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.10.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{- 3}{1 + 0}$

Paso 4.10.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- 3}{1}$

Paso 4.10.3

Divide $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Paso 5

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = 3, - 3$

Paso 6

Usa la división polinómica para obtener las asíntotas oblicuas. Como esta expresión contiene un radical, la división polinómica no se puede hacer.

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

Asíntotas horizontales: $y = 3, - 3$

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 8