Cálculo Ejemplos

$\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ no está definida.

$- \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$

Paso 2

Como $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ desde la izquierda y $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ desde la derecha, entonces $x = - \frac{1}{2}$ es una asíntota vertical.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 3

Como $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ desde la izquierda y $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ desde la derecha, entonces $x = \frac{1}{2}$ es una asíntota vertical.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Paso 5

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 5.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1}}$

Paso 5.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}}$

Paso 5.2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x$ y $b = 1$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{(2 x + 1) (2 x - 1)}}$

Paso 5.3

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Paso 5.4

Evalúa el límite.

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Paso 5.4.1

Cancela el factor común de $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Paso 5.4.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Paso 5.4.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Paso 5.4.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Paso 5.5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Paso 5.5.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 5.5.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Paso 5.5.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Paso 5.5.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Paso 5.5.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.5.1.2.4.1

Mueve $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Paso 5.5.1.2.4.2

Mueve $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Paso 5.5.1.2.4.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Paso 5.5.1.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{1} x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Paso 5.5.1.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{1} x^{1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Paso 5.5.1.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Paso 5.5.1.2.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.5.1.2.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Paso 5.5.1.2.8.2

Multiplica.

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Paso 5.5.1.2.8.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Paso 5.5.1.2.8.2.2

Simplifica.

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Paso 5.5.1.2.8.2.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Paso 5.5.1.2.8.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Paso 5.5.1.2.8.3

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Paso 5.5.1.2.8.4

Resta $1$ de $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Paso 5.5.1.2.9

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Paso 5.5.1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Paso 5.5.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Paso 5.5.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 2 x + 1$ y $g (x) = 2 x - 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.8

Suma $2$ y $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.9

Mueve $2$ a la izquierda de $2 x + 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot (2 x + 1) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.10

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.11

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.13

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.14

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.15

Suma $2$ y $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.16

Mueve $2$ a la izquierda de $2 x - 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + 2 \cdot (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.17

Simplifica.

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Paso 5.5.3.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.17.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.17.3

Combina los términos.

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Paso 5.5.3.17.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.17.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.17.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.17.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.17.3.5

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.17.3.6

Resta $2$ de $2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.17.3.7

Suma $8 x$ y $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 5.5.3.18

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x}{2 x}}}$

Paso 5.5.4

Reduce.

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Paso 5.5.4.1

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 5.5.4.1.1

Factoriza $2$ de $8 x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

Paso 5.5.4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.4.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 (x)}}}$

Paso 5.5.4.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

Paso 5.5.4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x}}}$

Paso 5.5.4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.5.4.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x}}}$

Paso 5.5.4.2.2

Divide $4$ por $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 4}}$

Paso 5.6

Evalúa el límite.

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Paso 5.6.1

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{4}}$

Paso 5.6.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.6.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.6.2.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 5.6.2.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$2 (\frac{1}{2})$

Paso 5.6.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{1}{2})$

Paso 5.6.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1$

Paso 6

Evalúa $lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 6.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1}}$

Paso 6.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}}$

Paso 6.2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x$ y $b = 1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{(2 x + 1) (2 x - 1)}}$

Paso 6.3

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Paso 6.4

Evalúa el límite.

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común de $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Paso 6.4.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Paso 6.4.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Paso 6.4.4

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Paso 6.4.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Paso 6.5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 6.5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 6.5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Paso 6.5.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 6.5.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Paso 6.5.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Paso 6.5.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Paso 6.5.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 6.5.1.2.4.1

Mueve $x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Paso 6.5.1.2.4.2

Mueve $x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Paso 6.5.1.2.4.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Paso 6.5.1.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{1} x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Paso 6.5.1.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{1} x^{1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Paso 6.5.1.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Paso 6.5.1.2.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 6.5.1.2.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Paso 6.5.1.2.8.2

Multiplica.

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Paso 6.5.1.2.8.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Paso 6.5.1.2.8.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.1.2.8.2.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Paso 6.5.1.2.8.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Paso 6.5.1.2.8.3

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Paso 6.5.1.2.8.4

Resta $1$ de $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Paso 6.5.1.2.9

El límite al infinito negativo de un polinomio de grado par con coeficiente principal positivo es infinito.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Paso 6.5.1.3

El límite al infinito negativo de un polinomio de grado par con coeficiente principal positivo es infinito.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Paso 6.5.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Paso 6.5.2

$lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 6.5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 6.5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 2 x + 1$ y $g (x) = 2 x - 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.8

Suma $2$ y $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.9

Mueve $2$ a la izquierda de $2 x + 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot (2 x + 1) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.10

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.11

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.13

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.14

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.15

Suma $2$ y $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.16

Mueve $2$ a la izquierda de $2 x - 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + 2 \cdot (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.17

Simplifica.

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Paso 6.5.3.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.17.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.17.3

Combina los términos.

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Paso 6.5.3.17.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.17.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.17.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.17.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.17.3.5

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x + 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.17.3.6

Resta $2$ de $2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.17.3.7

Suma $8 x$ y $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Paso 6.5.3.18

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x}{2 x}}}$

Paso 6.5.4

Reduce.

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Paso 6.5.4.1

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 6.5.4.1.1

Factoriza $2$ de $8 x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

Paso 6.5.4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.5.4.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 (x)}}}$

Paso 6.5.4.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

Paso 6.5.4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x}{x}}}$

Paso 6.5.4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.5.4.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x}{x}}}$

Paso 6.5.4.2.2

Divide $4$ por $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 4}}$

Paso 6.6

Evalúa el límite.

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Paso 6.6.1

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{4}}$

Paso 6.6.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.6.2.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 6.6.2.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{4}}$

Paso 6.6.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{4}})$

Paso 6.6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.6.2.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{2^{2}}})$

Paso 6.6.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$2 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.6.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.6.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$2 (\frac{- 1}{2})$

Paso 6.6.2.3.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{- 1}{2})$

Paso 6.6.2.3.3

Reescribe la expresión.

$- 1$

Paso 7

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = 1, - 1$

Paso 8

Usa la división polinómica para obtener las asíntotas oblicuas. Como esta expresión contiene un radical, la división polinómica no se puede hacer.

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 9

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Asíntotas horizontales: $y = 1, - 1$

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 10