Cálculo Ejemplos

$\cot (x) (\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}) = 0$ , $[0, 2 π)$

Paso 1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3} = 0$

Paso 2

Establece $\cot (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.1

Establece $\cot (x)$ igual a $0$ .

$\cot (x) = 0$

Paso 2.2

Resuelve $\cot (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.1

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x = arccot (0)$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.1

El valor exacto de $arccot (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 2.2.3

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{2}$

Paso 2.2.4

Simplifica $π + \frac{π}{2}$ .

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Paso 2.2.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 2.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 2.2.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 2.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Paso 2.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.4.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Paso 2.2.4.3.2

Suma $2 π$ y $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.2.5

Obtén el período de $\cot (x)$ .

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Paso 2.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 2.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 2.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 2.2.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.2.6

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Establece $\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}$ igual a $0$ .

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Resta $\frac{\sqrt{3}}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 3.2.2

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

El valor exacto de $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Paso 3.2.4

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{6} - π$

Paso 3.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 3.2.5.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Paso 3.2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{5 π}{6}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 3.2.6

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 3.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 3.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 3.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 3.2.6.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 3.2.7

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 3.2.7.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + π$

Paso 3.2.7.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 3.2.7.3

Combina fracciones.

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Paso 3.2.7.3.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 3.2.7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 3.2.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.7.4.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 3.2.7.4.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Paso 3.2.7.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 3.2.8

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

La solución final comprende todos los valores que hacen $\cot (x) (\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Consolida $\frac{π}{2} + π n$ y $\frac{3 π}{2} + π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Excluye las soluciones que no hagan que $\cot (x) (\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}) = 0$ sea verdadera.

$x = \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Obtén los valores de $n$ que producen un valor dentro del intervalo $[0, 2 π)$ .

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Paso 7.1

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Paso 7.1.1

Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{5 π}{6} + π (0)$

Paso 7.1.2

Simplifica.

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $π$ por $0$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Paso 7.1.2.2

Suma $\frac{5 π}{6}$ y $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

Paso 7.1.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 7.2

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Paso 7.2.1

Inserta $1$ en $n$ .

$\frac{5 π}{6} + π (1)$

Paso 7.2.2

Simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{5 π}{6} + π$

Paso 7.2.2.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

Paso 7.2.2.3

Combina fracciones.

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Paso 7.2.2.3.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

Paso 7.2.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 π + π \cdot 6}{6}$

Paso 7.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.2.4.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{5 π + 6 \cdot π}{6}$

Paso 7.2.2.4.2

Suma $5 π$ y $6 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Paso 7.2.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{11 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}, \frac{11 π}{6}$