Cálculo Ejemplos

$g (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Paso 1

La función $G (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $g (x)$ .

$G (x) = \int g (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$G (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{x^{2}}{4} + C d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Paso 5.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Paso 5.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Paso 5.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Paso 5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} \int x^{2} d x + \int C d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int C d x$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{3}}{12} + C x + C$

Paso 10.2

Reordena los términos.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{12} x^{3} + C x + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $g (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{x^{2}}{4} + C$ .

$G (x) =$ $x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{12} x^{3} + C x + C$