Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(\frac{x}{12})}^{15}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int {(\frac{x}{12})}^{15} d x$

Paso 3

Sea $u = \frac{x}{12}$ . Entonces $d u = \frac{1}{12} d x$ , de modo que $12 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = \frac{x}{12}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $\frac{x}{12}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{12}]$

Paso 3.1.2

Como $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{12}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{12} \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $\frac{1}{12}$ por $1$ .

$\frac{1}{12}$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{15} \frac{1}{\frac{1}{12}} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{12}$ .

$\int u^{15} (1 \cdot 12) d u$

Paso 4.2

Multiplica $12$ por $1$ .

$\int u^{15} \cdot 12 d u$

Paso 4.3

Mueve $12$ a la izquierda de $u^{15}$ .

$\int 12 u^{15} d u$

Paso 5

Dado que $12$ es constante con respecto a $u$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$12 \int u^{15} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{15}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{16} u^{16}$ .

$12 (\frac{1}{16} u^{16} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $12 (\frac{1}{16} u^{16} + C)$ como $12 (\frac{1}{16}) u^{16} + C$ .

$12 (\frac{1}{16}) u^{16} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $12$ y $\frac{1}{16}$ .

$\frac{12}{16} u^{16} + C$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común de $12$ y $16$ .

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 (3)}{16} u^{16} + C$

Paso 7.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4} u^{16} + C$

Paso 7.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4} u^{16} + C$

Paso 7.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{4} u^{16} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{12}$ .

$\frac{3}{4} {(\frac{x}{12})}^{16} + C$

Paso 9

Reordena los términos.

$\frac{3}{4} {(\frac{1}{12} x)}^{16} + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = {(\frac{x}{12})}^{15}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{4} {(\frac{1}{12} x)}^{16} + C$