Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (x)$ , $[1, 7]$

Paso 1

Si $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$ , entonces existe al menos un número real $c$ en el intervalo $(a, b)$ tal que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . El teorema del valor medio expresa la relación entre la pendiente de la tangente a la curva en $x = c$ y la pendiente de la línea que pasa por los puntos $(a, f (a))$ y $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ es continua en $[a, b]$

y si $f (x)$ es diferenciable en $(a, b)$ ,

existe al menos un punto, $c$ en $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Paso 2

Comprueba si $f (x) = \ln (x)$ es continua.

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Paso 2.1

Para determinar si la función es continua en $[1, 7]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \ln (x)$ .

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Paso 2.1.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x > 0$

Paso 2.1.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Paso 2.2

$f (x)$ es continua en $[1, 7]$ .

La función es continua.

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x}$

Paso 3.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 4

Obtén si la derivada es continua en $(1, 7)$ .

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Paso 4.1

Para determinar si la función es continua en $(1, 7)$ o no, obtén el dominio de $f' (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 4.1.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 4.1.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Paso 4.2

$f' (x)$ es continua en $(1, 7)$ .

La función es continua.

Paso 5

La función es diferenciable en $(1, 7)$ porque la derivada es continua en $(1, 7)$ .

La función es diferenciable.

Paso 6

$f (x)$ satisface las dos condiciones del teorema del valor medio. Es continuo en $[1, 7]$ y diferenciable en $(1, 7)$ .

$f (x)$ es continua en $[1, 7]$ y diferenciable en $(1, 7)$ .

Paso 7

Evalúa $f (a)$ del intervalo $[1, 7]$ .

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \ln (1)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f (1) = 0$

Paso 7.2.2

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 8

Evalúa $f (b)$ del intervalo $[1, 7]$ .

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f (7) = \ln (7)$

Paso 8.2

La respuesta final es $\ln (7)$ .

$\ln (7)$

Paso 9

Resuelve $\frac{1}{x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ en $x$ . $\frac{1}{x} = \frac{- (f (7) + f (1))}{- (7 + 1)}$ .

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Paso 9.1

Factoriza cada término.

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Paso 9.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (7) + 0}{(7) - (1)}$

Paso 9.1.2

Suma $\ln (7)$ y $0$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (7)}{(7) - (1)}$

Paso 9.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (7)}{7 - 1}$

Paso 9.1.4

Resta $1$ de $7$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (7)}{6}$

Paso 9.1.5

Reescribe $\frac{\ln (7)}{6}$ como $\frac{1}{6} \ln (7)$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{6} \ln (7)$

Paso 9.1.6

Simplifica $\frac{1}{6} \ln (7)$ al mover $\frac{1}{6}$ dentro del algoritmo.

$\frac{1}{x} = \ln (7^{\frac{1}{6}})$

Paso 9.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 9.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, 1$

Paso 9.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 9.3

Multiplica cada término en $\frac{1}{x} = \ln (7^{\frac{1}{6}})$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 9.3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{x} = \ln (7^{\frac{1}{6}})$ por $x$ .

$\frac{1}{x} x = \ln (7^{\frac{1}{6}}) x$

Paso 9.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 9.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x} x = \ln (7^{\frac{1}{6}}) x$

Paso 9.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = \ln (7^{\frac{1}{6}}) x$

Paso 9.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.3.1

Reordena los factores en $\ln (7^{\frac{1}{6}}) x$ .

$1 = x \ln (7^{\frac{1}{6}})$

Paso 9.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 9.4.1

Reescribe la ecuación como $x \ln (7^{\frac{1}{6}}) = 1$ .

$x \ln (7^{\frac{1}{6}}) = 1$

Paso 9.4.2

Divide cada término en $x \ln (7^{\frac{1}{6}}) = 1$ por $\ln (7^{\frac{1}{6}})$ y simplifica.

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Paso 9.4.2.1

Divide cada término en $x \ln (7^{\frac{1}{6}}) = 1$ por $\ln (7^{\frac{1}{6}})$ .

$\frac{x \ln (7^{\frac{1}{6}})}{\ln (7^{\frac{1}{6}})} = \frac{1}{\ln (7^{\frac{1}{6}})}$

Paso 9.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (7^{\frac{1}{6}})}{\ln (7^{\frac{1}{6}})} = \frac{1}{\ln (7^{\frac{1}{6}})}$

Paso 9.4.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{\ln (7^{\frac{1}{6}})}$

Paso 10

Se halla una tangente en $x = \frac{1}{\ln (7^{\frac{1}{6}})}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 1$ y $b = 7$ .

Hay una tangente en $x = \frac{1}{\ln (7^{\frac{1}{6}})}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 1$ y $b = 7$ .

Paso 11