Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x + 2}$ , $[- 1, 4]$

Paso 1

Si $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$ , entonces existe al menos un número real $c$ en el intervalo $(a, b)$ tal que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . El teorema del valor medio expresa la relación entre la pendiente de la tangente a la curva en $x = c$ y la pendiente de la línea que pasa por los puntos $(a, f (a))$ y $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ es continua en $[a, b]$

y si $f (x)$ es diferenciable en $(a, b)$ ,

existe al menos un punto, $c$ en $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Paso 2

Comprueba si $f (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x + 2}$ es continua.

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Paso 2.1

Para determinar si la función es continua en $[- 1, 4]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x + 2}$ .

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Paso 2.1.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x + 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 2 = 0$

Paso 2.1.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 2}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 2}$

Paso 2.2

$f (x)$ es continua en $[- 1, 4]$ .

La función es continua.

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 3.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 3 x - 4$ y $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4] - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2

Diferencia.

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Paso 3.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.5

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.6

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.7

Suma $2 x - 3$ y $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.10

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.2.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.11.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.3

Simplifica.

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Paso 3.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 2) (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.2.1.1

Expande $(x + 2) (2 x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x - 3) + 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 + 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.3.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1.3.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.2.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.3.2.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.3.2.1.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.3.2.1.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.3.2.1.2.1.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 \cdot x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.3.2.1.2.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 4 x + 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.3.2.1.2.1.5

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 4 x - 6 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.3.2.1.2.2

Suma $- 3 x$ y $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 6 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.3.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 6 - x^{2} + 3 x - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 6 - x^{2} + 3 x + 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.3.2.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + x - 6 + 3 x + 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.3.2.3

Suma $x$ y $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 6 + 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.3.2.4

Suma $- 6$ y $4$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 4

Obtén si la derivada es continua en $(- 1, 4)$ .

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Paso 4.1

Para determinar si la función es continua en $(- 1, 4)$ o no, obtén el dominio de $f' (x) = \frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

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Paso 4.1.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Paso 4.1.2

Resuelve $x$

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Paso 4.1.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 4.1.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 4.1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 2}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 2}$

Paso 4.2

$f' (x)$ es continua en $(- 1, 4)$ .

La función es continua.

Paso 5

La función es diferenciable en $(- 1, 4)$ porque la derivada es continua en $(- 1, 4)$ .

La función es diferenciable.

Paso 6

$f (x)$ satisface las dos condiciones del teorema del valor medio. Es continuo en $[- 1, 4]$ y diferenciable en $(- 1, 4)$ .

$f (x)$ es continua en $[- 1, 4]$ y diferenciable en $(- 1, 4)$ .

Paso 7

Evalúa $f (a)$ del intervalo $[- 1, 4]$ .

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 - 4}{(- 1) + 2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 - 3 \cdot - 1 - 4}{- 1 + 2}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 3 - 4}{- 1 + 2}$

Paso 7.2.1.3

Suma $1$ y $3$ .

$f (- 1) = \frac{4 - 4}{- 1 + 2}$

Paso 7.2.1.4

Resta $4$ de $4$ .

$f (- 1) = \frac{0}{- 1 + 2}$

Paso 7.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.2.1

Suma $- 1$ y $2$ .

$f (- 1) = \frac{0}{1}$

Paso 7.2.2.2

Divide $0$ por $1$ .

$f (- 1) = 0$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 8

Resuelve $\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ en $x$ . $\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (4) + f (- 1))}{- (4 - 1)}$ .

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Paso 8.1

Factoriza cada término.

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Paso 8.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{0 + 0}{(4) - (- 1)}$

Paso 8.1.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{0}{(4) - (- 1)}$

Paso 8.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{0}{4 + 1}$

Paso 8.1.4

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{0}{5}$

Paso 8.1.5

Divide $0$ por $5$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = 0$

Paso 8.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 8.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

${(x + 2)}^{2}, 1$

Paso 8.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

${(x + 2)}^{2}$

Paso 8.3

Multiplica cada término en $\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ por ${(x + 2)}^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 8.3.1

Multiplica cada término en $\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ por ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = 0 {(x + 2)}^{2}$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.2.1

Cancela el factor común de ${(x + 2)}^{2}$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = 0 {(x + 2)}^{2}$

Paso 8.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + 4 x - 2 = 0 {(x + 2)}^{2}$

Paso 8.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.3.1

Multiplica $0$ por ${(x + 2)}^{2}$ .

$x^{2} + 4 x - 2 = 0$

Paso 8.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 8.4.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 8.4.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = - 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.3

Simplifica.

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Paso 8.4.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Paso 8.4.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.3.1.3

Suma $16$ y $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.3.1.4

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 8.4.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Paso 8.4.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{6}$

Paso 8.4.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 8.4.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Paso 8.4.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.4.1.3

Suma $16$ y $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.4.1.4

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 8.4.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Paso 8.4.4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{6}$

Paso 8.4.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{6}$

Paso 8.4.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 8.4.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.5.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Paso 8.4.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.5.1.3

Suma $16$ y $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.5.1.4

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 8.4.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Paso 8.4.5.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{6}$

Paso 8.4.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{6}$

Paso 8.4.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 2 + \sqrt{6}, - 2 - \sqrt{6}$

Paso 9

Se halla una tangente en $x = - 2 + \sqrt{6}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = - 1$ y $b = 4$ .

Hay una tangente en $x = - 2 + \sqrt{6}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = - 1$ y $b = 4$ .

Paso 10

Se halla una tangente en $x = - 2 - \sqrt{6}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = - 1$ y $b = 4$ .

Hay una tangente en $x = - 2 - \sqrt{6}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = - 1$ y $b = 4$ .

Paso 11