Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{5}{6 x - 4}$ , $[2, 5]$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\frac{5}{6 x - 4} = 0$

Paso 1.2

Resuelve $\frac{5}{6 x - 4} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Establece el numerador igual a cero.

$5 = 0$

Paso 1.2.2

Como $5 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 2

Factoriza $2$ de $6 x - 4$ .

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$y = \frac{5}{2 (3 x) - 4}$

Paso 2.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$y = \frac{5}{2 (3 x) + 2 (- 2)}$

Paso 2.3

Factoriza $2$ de $2 (3 x) + 2 (- 2)$ .

$y = \frac{5}{2 (3 x - 2)}$

Paso 3

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{2}^{5} \frac{5}{2 (3 x - 2)} d x - \int_{2}^{5} 0 d x$

Paso 4

Integra para obtener el área entre $2$ y $5$ .

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Paso 4.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{2}^{5} \frac{5}{2 (3 x - 2)} - (0) d x$

Paso 4.2

Resta $0$ de $\frac{5}{2 (3 x - 2)}$ .

$\int_{2}^{5} \frac{5}{2 (3 x - 2)} d x$

Paso 4.3

Dado que $\frac{5}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{5}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{5}{2} \int_{2}^{5} \frac{1}{3 x - 2} d x$

Paso 4.4

Sea $u = 3 x - 2$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.4.1

Deja $u = 3 x - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.4.1.1

Diferencia $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Paso 4.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 4.4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 4.4.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 4.4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 4.4.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 4.4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.4.1.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 4.4.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 4.4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 x - 2$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 2 - 2$

Paso 4.4.3

Simplifica.

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Paso 4.4.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$u_{lower} = 6 - 2$

Paso 4.4.3.2

Resta $2$ de $6$ .

$u_{lower} = 4$

Paso 4.4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 x - 2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 5 - 2$

Paso 4.4.5

Simplifica.

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Paso 4.4.5.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$u_{upper} = 15 - 2$

Paso 4.4.5.2

Resta $2$ de $15$ .

$u_{upper} = 13$

Paso 4.4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 13$

Paso 4.4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{5}{2} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{2} \int_{4}^{13} \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Paso 4.5.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u$ .

$\frac{5}{2} \int_{4}^{13} \frac{1}{3 u} d u$

Paso 4.6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{5}{2} (\frac{1}{3} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} d u)$

Paso 4.7

Simplifica.

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Paso 4.7.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 2} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} d u$

Paso 4.7.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{5}{6} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} d u$

Paso 4.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{6} \ln (| u |)]_{4}^{13}$

Paso 4.9

Evalúa $\ln (| u |)$ en $13$ y en $4$ .

$\frac{5}{6} (\ln (| 13 |) - \ln (| 4 |))$

Paso 4.10

Simplifica.

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Paso 4.10.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{5}{6} \ln (\frac{| 13 |}{| 4 |})$

Paso 4.10.2

Combina $\frac{5}{6}$ y $\ln (\frac{| 13 |}{| 4 |})$ .

$\frac{5 \ln (\frac{| 13 |}{| 4 |})}{6}$

Paso 4.11

Simplifica.

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Paso 4.11.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $13$ es $13$ .

$\frac{5 \ln (\frac{13}{| 4 |})}{6}$

Paso 4.11.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$\frac{5 \ln (\frac{13}{4})}{6}$

Paso 5

Suma las áreas $\frac{5 \ln (\frac{13}{4})}{6}$ .

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Paso 5.1

Simplifica $5 \ln (\frac{13}{4})$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$\frac{\ln ({(\frac{13}{4})}^{5})}{6}$

Paso 5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{13}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{13^{5}}{4^{5}})}{6}$

Paso 5.2.2

Eleva $13$ a la potencia de $5$ .

$\frac{\ln (\frac{371293}{4^{5}})}{6}$

Paso 5.2.3

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$\frac{\ln (\frac{371293}{1024})}{6}$

Paso 5.3

Reescribe $\frac{\ln (\frac{371293}{1024})}{6}$ como $\frac{1}{6} \ln (\frac{371293}{1024})$ .

$\frac{1}{6} \ln (\frac{371293}{1024})$

Paso 5.4

Simplifica $\frac{1}{6} \ln (\frac{371293}{1024})$ al mover $\frac{1}{6}$ dentro del algoritmo.

$\ln ({(\frac{371293}{1024})}^{\frac{1}{6}})$

Paso 5.5

Aplica la regla del producto a $\frac{371293}{1024}$ .

$\ln (\frac{371293^{\frac{1}{6}}}{1024^{\frac{1}{6}}})$

Paso 6