Cálculo Ejemplos

$\sum_{j = 1}^{7} \frac{1}{4} (j + 1)$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} j + \frac{1}{4} \cdot 1$

Paso 1.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $j$ .

$\frac{j}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1$

Paso 1.3

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{j}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 1.4

Reescribe la suma.

$\sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{4} + \frac{1}{4} = \sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{4} + \sum_{j = 1}^{7} \frac{1}{4}$

Paso 3

Evalúa $\sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{4}$ .

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Paso 3.1

Factoriza $\frac{1}{4}$ fuera de la suma.

$(\frac{1}{4}) \sum_{j = 1}^{7} j$

Paso 3.2

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 3.3

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(\frac{1}{4}) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1.1

Suma $7$ y $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7 \cdot 8}{2}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $7$ por $8$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{56}{2}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $4$ de $56$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (14)}{2}$

Paso 3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 14}{2}$

Paso 3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{14}{2}$

Paso 3.4.3

Divide $14$ por $2$ .

$7$

Paso 4

Evalúa $\sum_{j = 1}^{7} \frac{1}{4}$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(\frac{1}{4}) (7)$

Paso 4.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $7$ .

$\frac{7}{4}$

Paso 5

Suma los resultados de las sumas.

$7 + \frac{7}{4}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$7 \cdot \frac{4}{4} + \frac{7}{4}$

Paso 6.2

Combina $7$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{7}{4}$

Paso 6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7 \cdot 4 + 7}{4}$

Paso 6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.1

Multiplica $7$ por $4$ .

$\frac{28 + 7}{4}$

Paso 6.4.2

Suma $28$ y $7$ .

$\frac{35}{4}$