Cálculo Ejemplos

$48 (x^{2} + y^{2}) = 625 x y^{2}$ ; $(3, 4)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (48 (x^{2} + y^{2})) = \frac{d}{d x} (625 x y^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Como $48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $48 (x^{2} + y^{2})$ con respecto a $x$ es $48 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$48 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$48 (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$48 (2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$48 (2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$48 (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$48 (2 x + 2 y y')$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$48 (2 x) + 48 (2 y y')$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $2$ por $48$ .

$96 x + 48 (2 y y')$

Paso 2.4.2.2

Multiplica $2$ por $48$ .

$96 x + 96 y y'$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$96 y y' + 96 x$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $625$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $625 x y^{2}$ con respecto a $x$ es $625 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$625 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$625 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$625 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$625 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$625 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$625 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$625 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$625 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Paso 3.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$625 (2 x y y' + y^{2})$

Paso 3.8

Simplifica.

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Paso 3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$625 (2 x y y') + 625 y^{2}$

Paso 3.8.2

Multiplica $2$ por $625$ .

$1250 x y y' + 625 y^{2}$

Paso 3.8.3

Reordena los términos.

$625 y^{2} + 1250 x y y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$96 y y' + 96 x = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $1250 x y y'$ de ambos lados de la ecuación.

$96 y y' + 96 x - 1250 x y y' = 625 y^{2}$

Paso 5.2

Resta $96 x$ de ambos lados de la ecuación.

$96 y y' - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 96 x$

Paso 5.3

Factoriza $2 y y'$ de $96 y y' - 1250 x y y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $2 y y'$ de $96 y y'$ .

$2 y y' \cdot 48 - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 96 x$

Paso 5.3.2

Factoriza $2 y y'$ de $- 1250 x y y'$ .

$2 y y' \cdot 48 + 2 y y' (- 625 x) = 625 y^{2} - 96 x$

Paso 5.3.3

Factoriza $2 y y'$ de $2 y y' \cdot 48 + 2 y y' (- 625 x)$ .

$2 y y' (48 - 625 x) = 625 y^{2} - 96 x$

Paso 5.4

Divide cada término en $2 y y' (48 - 625 x) = 625 y^{2} - 96 x$ por $2 y (48 - 625 x)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $2 y y' (48 - 625 x) = 625 y^{2} - 96 x$ por $2 y (48 - 625 x)$ .

$\frac{2 y y' (48 - 625 x)}{2 y (48 - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y y' (48 - 625 x)}{2 y (48 - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y' (48 - 625 x)}{y (48 - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (48 - 625 x)}{y (48 - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Paso 5.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (48 - 625 x)}{48 - 625 x} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Paso 5.4.2.3

Cancela el factor común de $48 - 625 x$ .

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Paso 5.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (48 - 625 x)}{48 - 625 x} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Paso 5.4.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 5.4.3.1.1.1

Factoriza $y$ de $625 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (625 y)}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Paso 5.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.1.2.1

Factoriza $y$ de $2 y (48 - 625 x)$ .

$y' = \frac{y (625 y)}{y (2 (48 - 625 x))} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Paso 5.4.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y (625 y)}{y (2 (48 - 625 x))} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Paso 5.4.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Paso 5.4.3.1.2

Cancela el factor común de $- 96$ y $2$ .

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Paso 5.4.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 96 x$ .

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{2 (- 48 x)}{2 y (48 - 625 x)}$

Paso 5.4.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 y (48 - 625 x)$ .

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{2 (- 48 x)}{2 (y (48 - 625 x))}$

Paso 5.4.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{2 (- 48 x)}{2 (y (48 - 625 x))}$

Paso 5.4.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{- 48 x}{y (48 - 625 x)}$

Paso 5.4.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} - \frac{48 x}{y (48 - 625 x)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} - \frac{48 x}{y (48 - 625 x)}$

Paso 7

Reemplaza $x$ con $3$ y $y$ con $4$ en la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{625 (4)}{2 (48 - 625 \cdot 3)} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Paso 8

Simplifica el resultado.

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Paso 8.1

Multiplica $625$ por $4$ .

$\frac{2500}{2 (48 - 625 \cdot 3)} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Paso 8.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $2500$ y $2$ .

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Paso 8.2.1.1

Factoriza $2$ de $2500$ .

$\frac{2 \cdot 1250}{2 (48 - 625 \cdot 3)} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Paso 8.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1250}{2 (48 - 625 \cdot 3)} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Paso 8.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1250}{48 - 625 \cdot 3} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Multiplica $- 625$ por $3$ .

$\frac{1250}{48 - 1875} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Paso 8.2.2.2

Resta $1875$ de $48$ .

$\frac{1250}{- 1827} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Paso 8.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Paso 8.2.4

Cancela el factor común de $48$ y $4$ .

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Paso 8.2.4.1

Factoriza $4$ de $48 (3)$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{4 (12 \cdot 3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Paso 8.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.4.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{4 (12 \cdot 3)}{4 (48 - 625 \cdot 3)}$

Paso 8.2.4.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{48 - 625 \cdot 3}$

Paso 8.2.5

Cancela el factor común de $12$ y $48 - 625 \cdot 3$ .

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Paso 8.2.5.1

Reescribe $48$ como $- 1 (- 48)$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{- 1 (- 48) - 625 \cdot 3}$

Paso 8.2.5.2

Factoriza $- 1$ de $- 625 \cdot 3$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{- 1 (- 48) - (625 \cdot 3)}$

Paso 8.2.5.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 48) - (625 \cdot 3)$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{- 1 (- 48 + 625 \cdot 3)}$

Paso 8.2.5.4

Reordena los términos.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{- 1 (3 \cdot 625 - 48)}$

Paso 8.2.5.5

Factoriza $3$ de $12 \cdot 3$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 (4 \cdot 3)}{- 1 (3 \cdot 625 - 48)}$

Paso 8.2.5.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.5.6.1

Factoriza $3$ de $- 1 (3 \cdot 625 - 48)$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 (4 \cdot 3)}{3 (- 1 (625 - 16))}$

Paso 8.2.5.6.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 (4 \cdot 3)}{3 (- 1 (625 - 16))}$

Paso 8.2.5.6.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{4 \cdot 3}{- 1 (625 - 16)}$

Paso 8.2.6

Multiplica $4$ por $3$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12}{- 1 (625 - 16)}$

Paso 8.2.7

Resta $16$ de $625$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12}{- 1 \cdot 609}$

Paso 8.2.8

Multiplica $- 1$ por $609$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12}{- 609}$

Paso 8.2.9

Cancela el factor común de $12$ y $- 609$ .

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Paso 8.2.9.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 (4)}{- 609}$

Paso 8.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.9.2.1

Factoriza $3$ de $- 609$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot - 203}$

Paso 8.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot - 203}$

Paso 8.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{4}{- 203}$

Paso 8.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1250}{1827} - - \frac{4}{203}$

Paso 8.2.11

Multiplica $- - \frac{4}{203}$ .

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Paso 8.2.11.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1250}{1827} + 1 (\frac{4}{203})$

Paso 8.2.11.2

Multiplica $\frac{4}{203}$ por $1$ .

$- \frac{1250}{1827} + \frac{4}{203}$

Paso 8.3

Para escribir $\frac{4}{203}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1250}{1827} + \frac{4}{203} \cdot \frac{9}{9}$

Paso 8.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $1827$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.4.1

Multiplica $\frac{4}{203}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1250}{1827} + \frac{4 \cdot 9}{203 \cdot 9}$

Paso 8.4.2

Multiplica $203$ por $9$ .

$- \frac{1250}{1827} + \frac{4 \cdot 9}{1827}$

Paso 8.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1250 + 4 \cdot 9}{1827}$

Paso 8.6

Simplifica el numerador.

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Paso 8.6.1

Multiplica $4$ por $9$ .

$\frac{- 1250 + 36}{1827}$

Paso 8.6.2

Suma $- 1250$ y $36$ .

$\frac{- 1214}{1827}$

Paso 8.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1214}{1827}$